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Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
Par contraposition, on déduit du théorème 2.3 un critère permettant d'affirmer que la convergence d'une suite d'applications n'est pas une convergence
uniforme.
COROLLAIRE 2.2 Soient I un intervalle ouvert de R et Un )n une suite d'applications continues de I dans R qui converge simplement sur I vers une application f de I dans R Si f n'est pas une application continue sur I alors
la suite Un)nne converge pas uniformément sur J.
Exemple Soit Un )n la suite de terme général fn: x E [O, +oo[t-+ e- n x . Nous
avons établi p. 71 que cette suite converge simplement sur (0, +oo[ vers :
f : X E (0, +oo(r--- -7 { �
si X> 0
si X= 0
L'application f n'étant pas continue en 0, la suite Un)n ne converge pas uniformément vers f sur [O, +oo[ (ce que nous avions établi par un autre procédé p. 74).
Exercice 2.6 Soit Un )n une suite d'applications continues sur un intervalle I et à valeurs dans R qui converge uniformément sur I vers une
application f de I dans R Montrer que si (xn)n est une suite de réels de
l'intervalle I convergeant vers x E I alors limn-.+ oo fn (xn) = f(x). (On
raisonnera à l'aide d'assertions quantifiées.)
On déduit du théorème 2.3 le résultat suivant qui donne une condition suffisante
pour pouvoir permuter deux limites.
PROPOSITION 2.6 (Permutation de limites)
Soient xo un réel, X un voisinage de xo et Un )n une suite d'applications de X
dans R qui converge uniformément sur X. Si à partir d'un certain rang les
applications f n admettent une limite en xo alors :
lim lim fn (x) = lim lim fn (x).
x-+xo n --++oo
n --++oo x--+xo
On a également le résultat suivant qui est l'analogue de la proposition 2.6 dans
le cas d'une limite en +oo (on a un résultat similaire en -oo). Il se démontre
sur de la même manière que le théorème 2.3 en prenant la définitfon idoine de
la limite.
Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
Par contraposition, on déduit du théorème 2.3 un critère permettant d'affirmer que la convergence d'une suite d'applications n'est pas une convergence
uniforme.
COROLLAIRE 2.2 Soient I un intervalle ouvert de R et Un )n une suite d'applications continues de I dans R qui converge simplement sur I vers une application f de I dans R Si f n'est pas une application continue sur I alors
la suite Un)nne converge pas uniformément sur J.
Exemple Soit Un )n la suite de terme général fn: x E [O, +oo[t-+ e- n x . Nous
avons établi p. 71 que cette suite converge simplement sur (0, +oo[ vers :
f : X E (0, +oo(r--- -7 { �
si X> 0
si X= 0
L'application f n'étant pas continue en 0, la suite Un)n ne converge pas uniformément vers f sur [O, +oo[ (ce que nous avions établi par un autre procédé p. 74).
Exercice 2.6 Soit Un )n une suite d'applications continues sur un intervalle I et à valeurs dans R qui converge uniformément sur I vers une
application f de I dans R Montrer que si (xn)n est une suite de réels de
l'intervalle I convergeant vers x E I alors limn-.+ oo fn (xn) = f(x). (On
raisonnera à l'aide d'assertions quantifiées.)
On déduit du théorème 2.3 le résultat suivant qui donne une condition suffisante
pour pouvoir permuter deux limites.
PROPOSITION 2.6 (Permutation de limites)
Soient xo un réel, X un voisinage de xo et Un )n une suite d'applications de X
dans R qui converge uniformément sur X. Si à partir d'un certain rang les
applications f n admettent une limite en xo alors :
lim lim fn (x) = lim lim fn (x).
x-+xo n --++oo
n --++oo x--+xo
On a également le résultat suivant qui est l'analogue de la proposition 2.6 dans
le cas d'une limite en +oo (on a un résultat similaire en -oo). Il se démontre
sur de la même manière que le théorème 2.3 en prenant la définitfon idoine de
la limite.