Suites de fonctions
91
Les fonctions cPe = J (b � a ) E: + cPN,e et 7/Je = - J ( b � a ) E: + 'l/J N,e sont deux fonctions
en esc alier sur [a, b] vérifiant 'l/Je � f � cPe sur [a, b]. Par ailleurs,
<
On en conclut que la fonc tion f est Riemann-intégrable sur [a, b].
!'.'.'. Pour tout n EN, on a
0 � l 1 b f(x) dx - 1
b
fn (x) dx l = l 1
b
(f(x) - fn (x)) dx l
� l
b
lf(x) - fn (x)I
sup IJ(t) - fn (t)I
a tE[a,b]
(b - a) sup lf(t) - fn (t)I .
tE(a,bJ
Comme la suite d'applications Un )n converge un iformément sur [a, b] vers l'application f, on a limn-+ +oo sup tE [a ,b ) IJ (t) - fn (t)I = O. On en déduit par le
théorème d'encadrement que limn-+ +oo jJ: f(x) dx - J: fn (x) dxj = 0, autrement dit que
lim l
b
fn (x) dx = l
b
f(x)
a
Le théorème est démontré.
Remarques
0
1. Le théorème 2.4 donne un e condition suffisante pour « in tervertir les symboles
d'intégration et de limite » : pour pouvoir affirmer que
l
b
lim fn (x) dx = lim l
b
fn (x)
n -++oo a
il suffit que la suite Un )n d'applications Riemann-intégrables sur [a, b] converge
un iformément sur [a, b].
2. La convergence un iforme de la suite Un )n est un e condition suffisante «pour
in tervertir les symboles d'intégration et de limite » mais cette condition n'est
pas nécessaire. On peut en effet montrer (c 'est le théorème de la convergence
dominée de Lebesgue < 23> ) que si la suite Un )n converge simplement vers f sur
[a, b] et si
3M E IR� Vn EN Vx E [a, b] lfn (x)I � .M
< 23> LEBESGUE, Henri (1875, Beauvais - 1941, Paris) . Auteur de travaux novateurs en analyse,
Henri Lebesgue a introduit dans sa thêse soutenue en 1902 une théorie de l'intégrale qui
généralise de façon três satisfaisante celle de Riemann et qui est également largement
utilisée de nos jours. Il consacra ensuite ses travaux à étudier dans le cadre de sa nouvelle
théorie les fonctions de plusieurs variables et les séries de fonctions. Il fut nommé en 1922
à l'Académie des Sciences.
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Les fonctions cPe = J (b � a ) E: + cPN,e et 7/Je = - J ( b � a ) E: + 'l/J N,e sont deux fonctions
en esc alier sur [a, b] vérifiant 'l/Je � f � cPe sur [a, b]. Par ailleurs,
<
On en conclut que la fonc tion f est Riemann-intégrable sur [a, b].
!'.'.'. Pour tout n EN, on a
0 � l 1 b f(x) dx - 1
b
fn (x) dx l = l 1
b
(f(x) - fn (x)) dx l
� l
b
lf(x) - fn (x)I
sup IJ(t) - fn (t)I
a tE[a,b]
(b - a) sup lf(t) - fn (t)I .
tE(a,bJ
Comme la suite d'applications Un )n converge un iformément sur [a, b] vers l'application f, on a limn-+ +oo sup tE [a ,b ) IJ (t) - fn (t)I = O. On en déduit par le
théorème d'encadrement que limn-+ +oo jJ: f(x) dx - J: fn (x) dxj = 0, autrement dit que
lim l
b
fn (x) dx = l
b
f(x)
a
Le théorème est démontré.
Remarques
0
1. Le théorème 2.4 donne un e condition suffisante pour « in tervertir les symboles
d'intégration et de limite » : pour pouvoir affirmer que
l
b
lim fn (x) dx = lim l
b
fn (x)
n -++oo a
il suffit que la suite Un )n d'applications Riemann-intégrables sur [a, b] converge
un iformément sur [a, b].
2. La convergence un iforme de la suite Un )n est un e condition suffisante «pour
in tervertir les symboles d'intégration et de limite » mais cette condition n'est
pas nécessaire. On peut en effet montrer (c 'est le théorème de la convergence
dominée de Lebesgue < 23> ) que si la suite Un )n converge simplement vers f sur
[a, b] et si
3M E IR� Vn EN Vx E [a, b] lfn (x)I � .M
< 23> LEBESGUE, Henri (1875, Beauvais - 1941, Paris) . Auteur de travaux novateurs en analyse,
Henri Lebesgue a introduit dans sa thêse soutenue en 1902 une théorie de l'intégrale qui
généralise de façon três satisfaisante celle de Riemann et qui est également largement
utilisée de nos jours. Il consacra ensuite ses travaux à étudier dans le cadre de sa nouvelle
théorie les fonctions de plusieurs variables et les séries de fonctions. Il fut nommé en 1922
à l'Académie des Sciences.