Suites de fonctions
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Démonstration � Considérons une suite d'applications Un)n de l dans lR
convergeant simplement vers une application f de l dans lR et supposons que
pour tout n E N l'application fn est croissante <17J sur l, c'est-à-dire qu'elle
vérifie :
V(x,y) E 1 2 ( x::;; y ===> fn(x)::;; fn(Y)
) .
On veut montrer que f est croissante sur l, c'est-à-dire que :
V(x,y)El 2 ( x::;; y ===> f(x)::;; f(y) ) .
Considérons deux réels x et y appartenant à l tels que x ::;; y. D'après les
hypothèses, fn(x) ::;; fn(Y) pour tout n EN et les suites numériques Un(x))n et
Un(Y))n convergent vers f(x) et f(y). Il résulte du théorème d'encadrement <18J
que les limites de ces deux suites vérifient f(x) ::;; f(y). L'application f est donc
bien croissante.
Le cas où les applications f n sont décroissantes se traite d'une manière analogue. On peut aussi déduire ce résultat de celui que l'on vient de montrer en
utilisant le fait que si une application est croissante, son opposée est décroissante.
� Considérons une suite d'applications de l dans lR convergeant simplement
vers une application f de l dans lR et supposons que pour tout n EN, l'application fn est convexe sur l, c'est-à-dire qu'elle vérifie :
V(x, y) E 1 2 V>. E [O, l] fn(Àx + (1 - >.)y) ::;; Àfn(x) + (1 - À) fn(y).
Montons que f est convexe, c'est-à-dire que :
V(x, y) E 1 2 V>. E [O, l] f(Àx + (1 - >.)y) ::;; >.f(x) + (1 - >.)j (y).
Considérons deux réels x et y dans l, un réel À dans [O, l] et notons
z = Àx + (1 - >.)y. On a z E l et d'après les hypothèses, la suite numérique Un(z))n converge vers f(z) . Par ailleurs, puisque les suites numériques
Un(x))n et Un(Y))n convergent vers f(x) et f(y), la suite numérique de terme
général Un = Àfn(x) + (1 - >.)fn(Y) converge vers >.f(x) + (1 - >.)j(y). Il résulte du théorème d'encadrement <17J que les limites de ces deux suites vérifient :
f(z)::;; >.f(x) + (1 - À) f(y). On en conc lut que f est convexe sur l.
Le cas où les applications f n sont concaves se déduit en utHisant le fait que si
une application est conc ave, son opposée est convexe.
D
(lGJ Voir la définition 16.7 p. 737 du CouJ"s de pl'emière année.
<17 > Voir les définitions p. 563 du Cours de pl'emière année.
(lB) Voir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.
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Démonstration � Considérons une suite d'applications Un)n de l dans lR
convergeant simplement vers une application f de l dans lR et supposons que
pour tout n E N l'application fn est croissante <17J sur l, c'est-à-dire qu'elle
vérifie :
V(x,y) E 1 2 ( x::;; y ===> fn(x)::;; fn(Y)
) .
On veut montrer que f est croissante sur l, c'est-à-dire que :
V(x,y)El 2 ( x::;; y ===> f(x)::;; f(y) ) .
Considérons deux réels x et y appartenant à l tels que x ::;; y. D'après les
hypothèses, fn(x) ::;; fn(Y) pour tout n EN et les suites numériques Un(x))n et
Un(Y))n convergent vers f(x) et f(y). Il résulte du théorème d'encadrement <18J
que les limites de ces deux suites vérifient f(x) ::;; f(y). L'application f est donc
bien croissante.
Le cas où les applications f n sont décroissantes se traite d'une manière analogue. On peut aussi déduire ce résultat de celui que l'on vient de montrer en
utilisant le fait que si une application est croissante, son opposée est décroissante.
� Considérons une suite d'applications de l dans lR convergeant simplement
vers une application f de l dans lR et supposons que pour tout n EN, l'application fn est convexe sur l, c'est-à-dire qu'elle vérifie :
V(x, y) E 1 2 V>. E [O, l] fn(Àx + (1 - >.)y) ::;; Àfn(x) + (1 - À) fn(y).
Montons que f est convexe, c'est-à-dire que :
V(x, y) E 1 2 V>. E [O, l] f(Àx + (1 - >.)y) ::;; >.f(x) + (1 - >.)j (y).
Considérons deux réels x et y dans l, un réel À dans [O, l] et notons
z = Àx + (1 - >.)y. On a z E l et d'après les hypothèses, la suite numérique Un(z))n converge vers f(z) . Par ailleurs, puisque les suites numériques
Un(x))n et Un(Y))n convergent vers f(x) et f(y), la suite numérique de terme
général Un = Àfn(x) + (1 - >.)fn(Y) converge vers >.f(x) + (1 - >.)j(y). Il résulte du théorème d'encadrement <17J que les limites de ces deux suites vérifient :
f(z)::;; >.f(x) + (1 - À) f(y). On en conc lut que f est convexe sur l.
Le cas où les applications f n sont concaves se déduit en utHisant le fait que si
une application est conc ave, son opposée est convexe.
D
(lGJ Voir la définition 16.7 p. 737 du CouJ"s de pl'emière année.
<17 > Voir les définitions p. 563 du Cours de pl'emière année.
(lB) Voir le théorème 5.1 p. 179 du Cours de première année.