84
Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
On sera vigilant à la place du quantificateur « 'Vx EX» dans l'assertion (5).
En particulier, l'assertion
'Vx EX 'V ê E�� 3Ne EN V(m,n)E N 2
(n;;:: m;;:: Ne ==> lfn(x) - fm(x)
J � ê), (8)
qui a bien un sens d'un point de vue mathématique, n'est pas équivalente à
l'assertion (5). Elle exprime le fait que pour tout x E X la suite numérique de
, , l f ( )
.
.
,
.
d c h
(l4)
0
. (lS)
terme genera n x est une smte numenque e auc y . n sait que
ceci équivaut au fait que pour tout x E X la suite numérique converge.
Pour la suite de fonctions Un )n, cette assertion est donc équivalente à la
convergence simple sur X (et non à la convergence uniforme).
Exercice 2.5
On considère la suite de fonctions (f n)n définies par la relation
fn(x) = ( - l)
n ln ( 1 + n(l: x) )
'Vn EN*.
1 - Déterminer pour n E N*, l'ensemble de définition Vn de f n· En déduire
l'ensemble V sur lequel est définie la suite de fonctions Un )n ·
2 - Montrer que la suite de fonctions Un)nEN* converge simplement sur V
et déterminer la limite f de la suite.
3 - Étudier la convergence uniforme de la suite de fonctions (f n)nEN* sur V
puis sur ] - �' +oo[.
2.3 Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
2.3.1 Limite simple d'une suite d'applications
Certaines propriétés que possèdent les termes d'une suite d'applications sont
conservées par la limite de cette suite.
PROPOSITION 2.5 Soient I un intervalle de � et (f n)n une suite d'applications de I dans � convergeant simplement sur I vers une application f de I
dans R
X Si pour tout n EN, l'application f n est croissante (resp. décroissante) sur I
alors f est croissante (resp . décroissante) sur I.
X Si pour tout n E N, l'application f n est convexe '16> (resp . concave) sur I
alors f est convexe (resp. concave) sur I.
<1 4 > Vo ir la définition 5.8 p. 191 du Cours de première année.
(ls) Voir le théorème 5.4 p. 191 du Cours de première année.