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Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
On sera vigilant au fait que ce sont les applications f n qui sont supposées
être monotones et non pas la suite Un)n · On sera également attentif au
fait qu'une suite de fonctions qui sont toutes strictement croissantes peut
converger vers une fonction qui n'est pas strictement croissante. C'est le cas
par exemple de la suite Un)n de terme général fn : x E [O, 1] f-+ x/n ; pour
tout entier n E N*, l'application fn est strictement croissante, mais la suite
Un)n converge vers l'application nulle qui n'est pas strictement croissante.
Si certaines des propriétés que possèdent tous les termes d'une suite de fonctions
sont conservées par la fonction qui en est limite, il n'en va pas ainsi pour toutes
les propriétés. Nous avons vu p. 71 que la limite de la suite d'applications de
terme général f n : x E [O, +oo[f-+ e - n x n'était pas une application continue
alors que toutes les applications f n sont continues. Autrement dit, une suite
d'applications continues peut converger simplement vers une application qui
n'est pas continue. La propriété de continuité n'est pas toujours conservée lors
d'une convergence simple. Il en va de même des propriétés de dérivabilité et
d'intégrabilité.
Nous allons donner dans les paragraphes suivants des conditions suffisantes
pour que soient conservées par passage à la limite les propriétés de continuité,
de dérivabilité et d'intégrabilité.
2.3.2 Limite uniforme d'une suite d'applications continues
THÉORÈME 2.3 Soient I un intervalle ouvert de IR et Un)n une suite d'applications de I dans IR convergeant uniformément sur I vers l'application f
de I dans R
X Si pour tout n E N l'application f n est continue en xo E I alors f est
continue en xo.
X Si pour tout n E N l'application fn est continue sur I alors f est continue
sur I.
Démonstration Une application est continue sur l'intervalle I si pour tout
xo E I elle est continue en xa. La deuxième assertion du théorème est donc une
conséquence immédiate de la première assertion.
La suite Un)n étant une suite d'applications de I dans IR convergeant uniformément sur I vers l'application f, on a
De plus, pour tout n E N, l'application f n étant continue en x0 E J, on a <19 > :
'
:<::; 7]1 ==>
l fn(x) - fn(xo)I :<::; e1 ) .
(10)
<19 > Voir la définition 13.4 p. 588 du Cours de première année.
Propriétés de la limite d'une suite d'applications réelles
On sera vigilant au fait que ce sont les applications f n qui sont supposées
être monotones et non pas la suite Un)n · On sera également attentif au
fait qu'une suite de fonctions qui sont toutes strictement croissantes peut
converger vers une fonction qui n'est pas strictement croissante. C'est le cas
par exemple de la suite Un)n de terme général fn : x E [O, 1] f-+ x/n ; pour
tout entier n E N*, l'application fn est strictement croissante, mais la suite
Un)n converge vers l'application nulle qui n'est pas strictement croissante.
Si certaines des propriétés que possèdent tous les termes d'une suite de fonctions
sont conservées par la fonction qui en est limite, il n'en va pas ainsi pour toutes
les propriétés. Nous avons vu p. 71 que la limite de la suite d'applications de
terme général f n : x E [O, +oo[f-+ e - n x n'était pas une application continue
alors que toutes les applications f n sont continues. Autrement dit, une suite
d'applications continues peut converger simplement vers une application qui
n'est pas continue. La propriété de continuité n'est pas toujours conservée lors
d'une convergence simple. Il en va de même des propriétés de dérivabilité et
d'intégrabilité.
Nous allons donner dans les paragraphes suivants des conditions suffisantes
pour que soient conservées par passage à la limite les propriétés de continuité,
de dérivabilité et d'intégrabilité.
2.3.2 Limite uniforme d'une suite d'applications continues
THÉORÈME 2.3 Soient I un intervalle ouvert de IR et Un)n une suite d'applications de I dans IR convergeant uniformément sur I vers l'application f
de I dans R
X Si pour tout n E N l'application f n est continue en xo E I alors f est
continue en xo.
X Si pour tout n E N l'application fn est continue sur I alors f est continue
sur I.
Démonstration Une application est continue sur l'intervalle I si pour tout
xo E I elle est continue en xa. La deuxième assertion du théorème est donc une
conséquence immédiate de la première assertion.
La suite Un)n étant une suite d'applications de I dans IR convergeant uniformément sur I vers l'application f, on a
De plus, pour tout n E N, l'application f n étant continue en x0 E J, on a <19 > :
'
:<::; 7]1 ==>
l fn(x) - fn(xo)I :<::; e1 ) .
(10)
<19 > Voir la définition 13.4 p. 588 du Cours de première année.