86
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
La variété V considérée ici est une variété compacte, éventuellement à
bord, munie d’une fonction de Morse f et d’un champ de pseudo-gradients X
satisfaisant la propriété de Smale, et qui est entrant si ∂V = ∅ (avec les
notations utilisées jusque là, ∂V = ∂ − V ).
Les résultats que nous allons démontrer ici sont les deux théorèmes :
Théorème 4.6.1 (fonctorialité). Soit u : V → W une application de classe C
∞ .
Elle induit un morphisme de groupes abéliens gradués
u : HM (V ) −→ HM (W ).
De plus, si v : W → Z est une autre application C
∞ ,
(v ◦ u) = v ◦ u .
Enfin, pour l’application identique Id : V → V , on a Id = Id.
Dire que u est un morphisme de groupes abéliens gradués, c’est dire que
cette application est une collection de morphismes
u k : HM k (V ) −→ HM k (W ).
Dit en termes savants, ce théorème affirme que l’homologie de Morse est
un foncteur de la catégorie des variétés différentiables et applications C
∞
dans la catégorie des groupes abéliens. C’est aussi un foncteur « homotopique ».
Théorème 4.6.2 (invariance homotopique). Soit u : [0, 1] × V → W une
application C
∞ . Pour u t (x) = u(t, x), on a (u 0 ) = (u 1 ) .
L’idée de la démonstration du théorème 4.6.1 est d’utiliser le fait que la
composition
V
u
− − → W = W × {0} ⊂ W × D
N
est homotope à un plongement (pour N assez grand), et donc de commencer
par traiter le cas des plongements.
Démonstration du théorème 4.6.1 pour les plongements
L’idée est, en partant d’un couple (f, X) sur V ayant les propriétés Morse
et Smale, de le prolonger en (
f,
X) sur W ayant les mêmes propriétés. On
en déduira un morphisme de complexes
u • : C • (f, X) −→ C • (
f,
X)
dont on montrera enfin que le morphisme qu’il induit en homologie ne dépend pas des choix de f et de X.
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
La variété V considérée ici est une variété compacte, éventuellement à
bord, munie d’une fonction de Morse f et d’un champ de pseudo-gradients X
satisfaisant la propriété de Smale, et qui est entrant si ∂V = ∅ (avec les
notations utilisées jusque là, ∂V = ∂ − V ).
Les résultats que nous allons démontrer ici sont les deux théorèmes :
Théorème 4.6.1 (fonctorialité). Soit u : V → W une application de classe C
∞ .
Elle induit un morphisme de groupes abéliens gradués
u : HM (V ) −→ HM (W ).
De plus, si v : W → Z est une autre application C
∞ ,
(v ◦ u) = v ◦ u .
Enfin, pour l’application identique Id : V → V , on a Id = Id.
Dire que u est un morphisme de groupes abéliens gradués, c’est dire que
cette application est une collection de morphismes
u k : HM k (V ) −→ HM k (W ).
Dit en termes savants, ce théorème affirme que l’homologie de Morse est
un foncteur de la catégorie des variétés différentiables et applications C
∞
dans la catégorie des groupes abéliens. C’est aussi un foncteur « homotopique ».
Théorème 4.6.2 (invariance homotopique). Soit u : [0, 1] × V → W une
application C
∞ . Pour u t (x) = u(t, x), on a (u 0 ) = (u 1 ) .
L’idée de la démonstration du théorème 4.6.1 est d’utiliser le fait que la
composition
V
u
− − → W = W × {0} ⊂ W × D
N
est homotope à un plongement (pour N assez grand), et donc de commencer
par traiter le cas des plongements.
Démonstration du théorème 4.6.1 pour les plongements
L’idée est, en partant d’un couple (f, X) sur V ayant les propriétés Morse
et Smale, de le prolonger en (
f,
X) sur W ayant les mêmes propriétés. On
en déduira un morphisme de complexes
u • : C • (f, X) −→ C • (
f,
X)
dont on montrera enfin que le morphisme qu’il induit en homologie ne dépend pas des choix de f et de X.