4.6. FONCTORIALITÉ DE L’HOMOLOGIE DE MORSE
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Cas où u est un difféomorphisme. On a vu dans la remarque 4.1.2 que le
difféomorphisme u induit un isomorphisme de complexes
C • (f, X) −→ C • (f ◦ u
−1 , du(X)).
Vérifions que l’isomorphisme induit en homologie ne dépend pas des choix
de f et de X. Soient donc (f 0 , X 0 ) et (f 1 , X 1 ) deux couples Morse-Smale
sur V ainsi que (F, X) un couple Morse-Smale sur [−1/3, 4/3] × F , comme
au § 3.4. Le couple (F ◦ (Id ×u
−1 ), d(u × Id)(X)) joue le même rôle entre
(f 0 ◦ u
−1 , du(X 0 )) et (f 1 ◦ u
−1 , du(X 1 )). En d’autres termes, on a un diagramme commutatif
C • (f 0 , X 0 )
u •0 / /
Φ
F
C • (f 0 ◦ u
−1 , du(X 0 ))
Φ
F ◦(Id ×u
−1 )
C • (f 1 , X 1 )
u •1 / / C • (f 1 ◦ u
−1 , du(X 1 ))
Puis évidemment, pour deux difféomorphismes u et v, v • ◦ u • = (v ◦ u) • de
sorte que v ◦ u = (v ◦ u) . Enfin, Id = Id.
Cas où u est l’inclusion d’une sous-variété. Notons-la
i : V V−→ W.
Proposition 4.6.3. Soit (f, X) un couple Morse-Smale sur V . Alors il existe
un couple Morse-Smale (
f,
X) sur W , qui le prolonge et tel que
(1) Crit(f ) ⊂ Crit(
f ) et l’indice d’un point critique de f est le même que
son indice comme point critique de
f ;
(2) si a est un point critique de f , alors ∂
X
(a) = ∂ X (a).
Comme conséquence de cette proposition, on a un morphisme (injectif)
de complexes
i • : C • (f, X) −→ C • (
f,
X)
simplement défini en envoyant a (vu comme point critique de f ) sur a (vu
comme point critique de
f ). De plus, ce morphisme ne dépend pas du choix
du couple (f, X) : on relie (f 0 , X 0 ) à (f 1 , X 1 ) comme d’habitude, grâce à
une fonction
F : [−1/3, 4/3] × V −→ R