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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
et à un champ de vecteurs X sur ce produit. On peut fabriquer un diagramme commutatif comme ci-dessus
C • (f 0 , X 0 )  u •0 / /
Φ
F
C • (
f 0
X 0 )
Φ
F
C • (f 1 , X 1 )  u •1 / / C • (
f 1 ,
X 1 )
en prolongeant F et X en
F et
X comme on a prolongé f et X, de sorte
que, si a est un point critique de f 0 sur V , Φ
F (a) = Φ
F (a).
Cas où u : V → W est un plongement. On peut considérer u comme
composée d’un difféomorphisme et de l’inclusion d’une sous-variété :
V
u
− − → u(V )
i
− − → W.
En partant de (f, X) sur V , on construit comme plus haut (
f,
X) sur W et
un morphisme de complexes
u • : C • (f, X) −→ C • (
f,
X)
en envoyant a sur iu(a) = u(a).
On a clairement
v • ◦ u • = (v ◦ u) • et donc aussi v ◦ u = (v ◦ u) .
Démonstration de la proposition. Considérons une sous-variété V de dimension n d’une variété W de dimension p.
Soit c un point critique de f sur V et soit U un voisinage de c dans la
(grosse) variété W . On peut supposer que U est de la forme U ≡ D
n
×D
p−n .
Sur un tel U , il est facile de prolonger f en posant
f (x, y) = f (x) +
1
2
y
2
et X par
X(x, y) = X(x) − y
(c’est-à-dire en ajoutant à X(x) l’opposé du gradient de la norme au carré).
On choisit donc un tel voisinage U i de chaque point critique c i de f et on
prolonge f et X en imposant cette forme sur les U i et arbitrairement sur le
complémentaire de la réunion des U i dans W .
Comme tous les points critiques de f sur V sont contenus dans les U i et
comme X est un pseudo-gradient, il existe un ε 0 > 0 tel que
d
f (
X) < −ε 0