4.6. FONCTORIALITÉ DE L’HOMOLOGIE DE MORSE
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c i
V
U
U i
Figure 3
sur V − ∪(U i ∩ V ) ainsi que près du bord des U i . Il existe donc un voisinage
ouvert U de V ∪ (∪U i ) dans W tel que
d
f (
X) ≤ 0
sur U avec égalité exactement en les c i .
En particulier,
f n’a pas d’autre points critiques que les c i sur U . Comme
on a ajouté à f une forme quadratique définie positive, l’indice de c comme
point critique de
f est son indice comme point critique de f .
Il n’y a aucune raison que
f que nous avons obtenue en prolongeant f
arbitrairement, soit une fonction de Morse en dehors de U . On la perturbe
légèrement pour qu’elle le devienne. On construit ensuite un prolongement
ad hoc
X de X en un pseudo-gradient à l’aide d’une partition de l’unité.
Remarque 4.6.4. Remarquons aussi que toute trajectoire γ de
X telle que
lim t→−∞ γ(t) = c ∈ V est complètement contenue dans V (on a supposé
que le champ X est entrant près de ∂V ).
Il se pourrait que le champ
X prolongé n’ait pas la propriété de Smale.
On a toutefois, pour tous points critiques de f ,
L
X
(a, b) = L X (a, b), donc n
X
(a, b) = n X (a, b), et donc ∂
X
(a) = ∂ X (a).
Si (par chance)
X a la propriété de Smale, on a le résultat attendu.
En perturbant
X au besoin, on obtient un champ très proche qui satisfait
Smale, n’est peut-être plus tangent à V mais vérifie toujours n
X
(a, b) =
n X (a, b).
Remarque 4.6.5. Notons en particulier, en application de cette démonstration, que si V est une sous-variété d’une variété W et si V est un voisinage
tubulaire de V dans W , alors HM (V) ∼ = HM (V ).
Avant de terminer la démonstration du théorème 4.6.1 (cas général d’une
application qui n’est pas un plongement), commençons à démontrer le théorème 4.6.2, qui nous sera utile.