90
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Démonstration du théorème 4.6.2, cas des plongements
Remarquons tout d’abord, comme
HM (D
N ; Z) =
Z si = 0
0 sinon,
que, pour tout difféomorphisme ψ : D
N
→ D
N , ψ , qui doit être un isomorphisme de Z dans lui-même, ne peut être que l’application identique, ou son
opposée, ψ = ± Id, et que c’est l’identité lorsque ψ préserve l’orientation.
Comme conséquence, pour toute variété V et tout difféomorphisme ψ
préservant l’orientation de D
N , ψ × Id : D
N
× V → D
N
× V induit aussi
l’identité en homologie, puisque (ψ × Id) • = ψ • ⊗ Id • sur le produit tensoriel
des complexes, de sorte que (ψ × Id) = ψ ⊗ Id = Id.
Considérons maintenant différentes façons d’inclure V dans D
N
× V .
Lemme 4.6.6. Pour a ∈ D
N , soit i a : V → D
N
× V le plongement défini par
i a (x) = (a, x). Alors
(1) (i 0 ) est un isomorphisme ;
(2) (i a ) = (i 0 ) .
Démonstration du lemme. On considère un couple (f, X) Morse-Smale sur
V = {0} × V ⊂ D
N
× V . On prolonge (f, X) en (
f,
X) comme ci-dessus,
c’est-à-dire par
f (y, x) =
1
2
y
2 + f (x) et
X(y, x) = −y + X(x).
Alors, C • (f, X) = C • (
f,
X), de sorte que (i 0 ) • = Id. Ce qui démontre
la première assertion. Pour la deuxième, on utilise un difféomorphisme
(1)
ψ : D
N
→ D
N qui envoie 0 sur a. Le diagramme commutatif
V
 i 0 / /
s
i a
% %
K
K
K
K
K
K
K
K
K
K
D
N
× V
ψ × Id
D
N
× V
donne (i 0 ) = (i a ) comme souhaité.
Pour démontrer le théorème d’invariance homotopique, considérons donc
une application
u : [0, 1] × V −→ W
(1) L’existence d’un tel difféomorphisme peut être démontrée en intégrant un champ de
vecteurs convenable sur le disque D N , un exercice dont les détails sont laissés aux lecteurs,
l’exercice 19 page 103.