4.6. FONCTORIALITÉ DE L’HOMOLOGIE DE MORSE
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telle que chaque u t soit un plongement. Alors
u : [0, 1] × V −→ [0, 1] × W
(t, x) −→ (t, u t (x))
est un plongement. Pour les inclusions i 0 et i 1 (notations du lemme), on a
deux diagrammes commutatifs :
[0, 1] × V
u / / [0, 1] × W
[0, 1] × V
u / / [0, 1] × W
[0, 1] × V u 0
/ /
i
V
0
O O
[0, 1] × W
i
W
0
O O
[0, 1] × V u 1
/ /
i
V
1
O O
[0, 1] × W
i
W
1
O O
d’où l’on déduit
(u 0 ) = (i
W
0 )
−1
◦
u ◦ (i
V
0 ) = (i
W
1 )
−1
◦
u ◦ (i
V
1 ) = (u 1 ) .
Démonstration du théorème 4.6.1, cas général. Considérons une application
de classe C
∞
u : V −→ W.
Choisissons un entier N assez grand pour qu’il existe un plongement ϕ :
V → D
N . Alors, (ϕ, u) est un plongement de V dans D
N
×W . On considère
le diagramme
D
N
× W
V
(ϕ, u)
9 9
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
u
/ / W
i 0
O O
et l’on définit
u = (i 0 )
−1
◦ (ϕ, u) .
Montrons que le morphisme u ainsi défini ne dépend pas du choix de N
ni de ϕ (de sorte qu’en particulier, si u est un plongement, on retrouvera,
pour N = 0, ce que l’on a déjà construit). Considérons donc une autre
application ψ : V → D
N et le diagramme
D
N
× W
0
) )
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
W
j 0
& &
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
i 0
8 8
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
u
o o
(ψ, ϕ, u) / /
(ϕ, u)
O O
(ψ, u)
D
M
× D
N
× W
D
M
× W
k 0
5 5
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
où 0 et k 0 sont définis par
0 (y, x) = (0, y, x) et k 0 (z, x) = (z, 0, x).