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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
On a k 0 ◦j 0 = 0 ◦i 0 , mais les deux triangles de droite du diagramme ne commutent pas. Cependant, les diagrammes induits en homologie commutent.
L’homotopie « tψ » relie
0 (ϕ(x), u(x)) = (0, ϕ(x), u(x)) à (ψ(x), ϕ(x), u(x))
et de même, l’homotopie « tϕ » relie
k 0 (ψ(x), u(x)) = (ψ(x), 0, u(x)) à (ψ(x), ϕ(x), u(x)).
Évaluons maintenant, grâce à ce diagramme et à ces remarques, l’application
(i 0 )
−1
◦ (ϕ, u) . On trouve
(i 0 )
−1
◦ (ϕ, u) = (i 0 )
−1
◦ ( 0 )
−1
◦ (ψ, ϕ, u)
= (j 0 )
−1
◦ (k 0 )
−1
◦ (ψ, ϕ, u)
= (j 0 )
−1
◦ (ψ, u)
Donc notre morphisme u en homologie ne dépend pas des choix faits.
La vérification de la propriété de fonctorialité suit le même chemin. Pour
u : V → W et W → Z, à l’aide de ϕ : V → D
N et de ψ : W → D
M , on
utilise le diagramme
V
u
/ /
(ϕ, u)
W
v
/ /
(ψ, v)
i 0
k k k k k k k k
u u k k k k k k k k
Z
j 0
w w o o o o o o o o o o o o o
D
N
× W
(Id, (ψ, v))
D
M
× Z
k 0
u u k k k k k k k k k k k k k k
D
M
× D
N
× Z
La flèche verticale V → D
M
× D
N
× Z est un plongement composé de
deux plongements. Nous savons donc déjà qu’elle satisfait la relation de
fonctorialité. Évaluons donc
v ◦ u = (j 0 )
−1
◦ (ψ, v) ◦ (i 0 )
−1
◦ (ϕ, u)
= (j 0 )
−1
◦ (k 0 )
−1
◦ (ψ ◦ (Id, v)) ◦ (ϕ, u)
= (v ◦ u) .
Fin de la démonstration du théorème 4.6.2. Elle est conséquence immédiate
de ce qui précède, on considère simplement u t comme la composition
V
i t
−−→ [0, 1] × V
u
− − → W
u t = u ◦ i t , donc u ◦ (i t ) = (u t ) ... mais nous savons que (i 0 ) = (i 1 ) ,
donc (u 0 ) = (u 1 ) .