4.7. SUITE EXACTE LONGUE
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4.7. Suite exacte longue
Soit V une sous-variété d’une variété W . Nous montrons ici qu’il existe
une suite exacte longue en homologie, complétant l’application
(i 0 ) : HM k (V ) −→ HM k (W ).
Nous allons donc utiliser des données de Morse-Smale (f, X) sur V que
nous prolongerons comme au § 4.6, ici à un voisinage tubulaire V de V
dans W . Ainsi, V est une variété à bord, W − V en est une aussi, toutes
les deux ont le même bord ∂V ; nous disposons d’une fonction de Morse
f ,
dont les points critiques dans V sont ceux de f sur V , et d’un champ
X
vérifiant la condition de Smale, qui est entrant dans V (et sortant de W − V).
L’inclusion i 0 : V ⊂ W induit un morphisme injectif de complexes
(i 0 ) : (C (f ), ∂ X ) −→ (C (
f ), ∂
X
).
Le premier de ces deux complexes calcule l’homologie de V , le deuxième
celle de W . Rien de nouveau jusqu’ici. Nous définissons maintenant un morphisme (de groupes)
C (
f ) −→ C (
f | W −V ),
simplement en envoyant les points critiques de
f qui sont dans V sur 0.
Les points critiques de
f qui sont dans V étant, nous l’avons dit, ceux de f
sur V , on a une suite de groupes abéliens
C (f ) −→ C (
f ) −→ C (
f | W −V ).
Notre deuxième morphisme est aussi un morphisme de complexes : une trajectoire de
X joignant deux points critiques de
f dont aucun n’est dans V ne
pénètre jamais dans V. Le complexe C (
f | W −V , ∂
X
) calcule, lui, l’homologie
HM (W − V, ∂V), puisque le champ
X est sortant de W − V.
Comme toutes ses semblables, cette suite exacte de complexes induit une
suite exacte longue en homologie
HM k (V )
/ / HM k (W )
/ / HM k (W − V, ∂V)
∂ f f f f f f f f f f f
s s f f f f f f f f f f f
HM k−1 (V )
/ / HM k−1 (W )
.
On décide d’appeler, pour alléger la notation,
HM k (W − V, ∂V) = HM k (W, V ),