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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
homologie relative
(2) . Le connectant de la suite exacte longue
HM k (V )
/ / HM k (W )
/ / HM k (W, V )
∂ g g g g g g g g g g g
s s g g g g g g g g g g g
HM k−1 (V )
/ / HM k−1 (W )
s’interprète facilement : à une classe dans HM k (W − V, ∂V), représentée par
un point critique a de
f dans W − V, ∂ associe la classe de la combinaison
linéaire des points critiques de f reliés à a par des trajectoires de
X,
∂a =
b∈Crit(f )
n
X
(a, b).
Considérons maintenant une variété M à bord ∂M
∂M M
i 0
− −− → M.
Nous aimerions appliquer ce qui précède au couple (M, ∂M ). Il n’est pourtant pas tout à fait exact que ∂M soit une sous-variété de M . On remplace
donc M par une variété qui lui est difféomorphe et dont ∂M est une sousvariété.
Le bord possède un voisinage « collier », c’est-à-dire de la forme
∂M × [−ε, 0]
i
− − → M avec i(x, 0) = i 0 (x)
(où ε est un réel strictement positif bien choisi et avec les notations du
paragraphe précédent
(3) ). Remarquons que
M
−ε = M − i(] − ε, 0])
est une variété à bord, difféomorphe à M et de bord i −ε (∂M ). On commence
par ajouter à M un « symétrique » de ce collier, en considérant le recollement
évident
M
+ε = M ∪ ∂M × [0, ε]
(voir la figure 4). Le bord ∂M est maintenant une sous-variété honnête
de M
+ε . De plus, il a un voisinage difféomorphe à ∂M × [−ε, ε].
Considérons le couple (W, V ) où W = M
+ε et V est sa sous-variété ∂M .
Comme W est difféomorphe à M , nous avons HM (W ) = HM (M ). De
plus, HM (W, V ), qui est HM (W − V, V) par définition, est précisément ce
(2) Pour les lecteurs qui savent ce que c’est, il s’agit bien, par excision, de l’homologie
relative. Voir par exemple [19].
(3) Rappelons que l’on peut obtenir un tel i en utilisant le flot d’un champ de vecteurs
entrant.