4.8. APPLICATIONS
95
X
M
M
−ε
M
+ε
Figure 4
que nous avons défini, au § 3.5 sur les cobordismes, comme HM (M, ∂M ).
Nous obtenons donc la suite exacte longue
HM k (∂M )
/ / HM k (M )
/ / HM k (M, ∂M )
∂ g g g g g g g g g g
s s g g g g g g g g g g
HM k−1 (∂M )
/ / · · ·
Exemple 4.7.1. Dans le cas du disque (voir ci-dessus les exemples 3.5.1, 4.1.1
et la figure 12 du chapitre 3), la suite exacte longue donne deux isomorphismes
HM 0 (S
n−1 ; Z/2)
j
− −− → HM 0 (D
n ; Z/2)
et
HM n (D
n , S
n−1 ; Z/2)
∂
− − → HM n−1 (S
n−1 ; Z/2)
(les autres groupes apparaissant dans la suite exacte sont triviaux).
4.8. Applications
4.8.a. Groupe fondamental et homologie (suite). Montrons ici,
comme annoncé au § 4.5.b, qu’une variété simplement connexe n’a pas
de H 1 .
Proposition 4.8.1. Si V est simplement connexe, HM 1 (V ; Z/2) = 0.
Démonstration. On utilise un couple (f, X) Morse-Smale sur V . Commençons par décrire les 1-cycles dans V , c’est-à-dire les éléments α de C 1 (f )
tels que ∂ X α = 0. Ce sont des combinaisons linéaires de points critiques
d’indice 1,
α = a 1 + · · · + a k .
De plus, ∂ X a 1 + · · · + ∂ X a k = 0. Pour un point critique a d’indice 1,
∂ X a = c 1 + c 2