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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
où c 1 et c 2 sont deux points critiques d’indice 0, pas nécessairement distincts
(figure 5) : la variété instable de a est un disque ouvert de dimension 1 et
l’on continue à appliquer le théorème 2.3.2.
c 1
c 2
c 3
c 4
a
c 1 = c 2
b 1
b 2
b 3
b 4
a
c 1
c 2
Figure 5
Donc notre cycle α est somme de cycles
β = b 1 + · · · + b s
avec ∂b i = c i + c i+1 pour des minimums locaux c 1 ,. . .,c s (avec c s+1 = c 1 )
comme sur la figure 5.
Un tel β définit un plongement u β du cercle S
1 dans V tel que la fonction
g β = f ◦ u β ait les c i comme minimums locaux et les b i comme maximums
locaux. Chaque β d’une base de Ker ∂ ⊂ C 1 (f ) définit un morphisme (injectif) de complexes
(u β ) • : C • (g β , X β ) −→ C • (f, X)
(X β est le champ de vecteurs sur S
1 dont l’image est la restriction de X)
tel que
(u β ) : HM 1 (S
1 ; Z/2) −→ HM 1 (V ; Z/2)
ait pour image le sous-espace engendré par la classe de β.
Avec l’hypothèse de simple connexité faite sur V , toute application v :
S
1
→ V se prolonge en une application
v : D
2
→ V . En particulier,
u β : S
1 −→ D
2
u β
− −− → V
donne en homologie une factorisation
(u β ) : HM 1 (S
1 ; Z/2) −→ HM 1 (D
2 ; Z/2)
( u β )
−−−−−→ HM 1 (V ; Z/2)
de telle sorte que la classe de β provient de HM 1 (D
2 ; Z/2) = 0 et donc est
nulle.