4.8. APPLICATIONS
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4.8.b. Le théorème du point fixe de Brouwer. Nous donnons ici une
autre démonstration du théorème de Brouwer (le théorème 2.3.3).
Démonstration. Comme dans la démonstration donnée plus haut, on commence par se ramener au cas où ϕ est une application C
∞ et l’on suppose
l’absence de point fixe, en déduisant une rétraction
r : D
n
−→ S
n−1
(qui associe à x ∈ D
n le point d’intersection de la demi-droite issue de ϕ(x)
et passant par x avec le bord S
n−1 ). De sorte que, si x est un point de la
sphère, il reste à sa place. L’application r satisfait à
r ◦ j = Id : S
n−1 −→ D
n
−→ S
n−1 .
Ce qui fait que la composition r ◦ j :
HM n−1 (S
n−1 ; Z/2) −→ HM n−1 (D
n ; Z/2) −→ HM n−1 (S
n−1 ; Z/2)
doit aussi être l’identité, de Z/2 dans Z/2, alors que HM n−1 (D
n ; Z/2) = 0
comme on l’a remarqué dans l’exemple 4.1.1. Une contradiction qui implique
l’existence d’un point fixe.
On démontre de même que, si k < n, il n’y a pas de rétraction de la
sphère S
n sur une sous-sphère S
k
⊂ S
n . Sinon, la composition
S
k i
− − → S
n r
− − → S
k ,
donnerait, en homologie HM k ,
HM k (S
k ; Z/2)
i
− −− → HM k (S
n ; Z/2)
r
− −− → HM k (S
k ; Z/2)
Z/2 − −− →
0
− −− → Z/2
une application nulle qui devrait être l’identité.
4.8.c. Homologie modulo 2 de l’espace projectif. Considérons la
sphère
S
n =
x ∈ R
n+1
| |x
2 = 1
et son quotient P
n (R), l’espace projectif réel de dimension n, par la relation
d’équivalence x ∼ −x. La projection naturelle S
n
→ P
n (R) est notée p.
Soit f une fonction de Morse sur P
n (R). La fonction f ◦p est une fonction
de Morse sur S
n (localement, il n’y a pas de différence entre S
n et P
n (R)).
Elle a deux points critiques d’indice k, a et −a, au-dessus de chaque point
critique p(a) de f .