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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
De même, si X est un champ de pseudo-gradients adapté à f , il existe un
unique champ de vecteurs
X sur S
n , qui est un champ de pseudo-gradients
pour f ◦ p et tel que, pour tout x sur S
n ,
T x (p)(
X x ) = X p(x) .
Ainsi les trajectoires de
X se projettent sur celles de X. Si l’on suppose en
plus que X satisfait à la propriété de Smale, il en est de même pour
X. On a
donc en particulier, pour tous points critiques a et b d’indices consécutifs
de f ◦ p,
n
X
(a, b) = n
X
(−a, −b).
X(−x)
a
b
−a
−b
X(x)
Figure 6
La formule α → p(α) définit un morphisme de complexes (C k (
f ), ∂
X
) →
(C k (f ), ∂ X ) que nous noterons p (ce n’est pas vraiment un abus de notation, c’est bien le p défini par l’application différentiable p, comme on
pourrait le vérifier en utilisant des plongements). De même, la formule
p(a) −→ a + (−a)
définit une application linéaire
p
! : C k (f ) −→ C k (
f ).
Si α = p(a) = p(−a) est un point critique de f , on a
∂
X
(p
! α) = ∂
X
(a) + ∂
X
(−a)
=
b
n
X
(a, b)b +
c
n
X
(−a, c)c.