4.8. APPLICATIONS
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Mais il y a une trajectoire de a à b si et seulement si il y a une trajectoire
de −a à −b, de sorte que cette somme vaut
∂
X
(p
! α) =
b
n
X
(a, b)b +
−b
n
X
(−a, −b)(−b)
=
β
n X (α, β)(b + (−b)).
Ainsi, p
! est un morphisme de complexes
p
! : (C k (f ), ∂ X ) −→ (C k (f ◦ p), ∂
X
).
La composition
(C k , ∂ X )
p
!
− −− → (C k (f ◦ p), ∂
X
)
p
− −− → (C k (f ), ∂ X )
envoie le point critique α successivement, d’abord sur a + (−a), puis sur
p(a) + p(−a) = 2α = 0. On a plus précis, une suite exacte de complexes
0 −→ (C k (f ), ∂ X )
p
!
− −− → (C k (f ◦ p), ∂
X
)
p
− −− → (C k (f ), ∂ X ) −→ 0.
En effet, une combinaison linéaire a 1 + · · · + a k de points critiques de
f ,
envoyée sur p(a 1 ) + · · · + p(a k ) ne peut être nulle que si chacun des points
critiques de f apparaissant dans cette somme y apparaît deux fois, c’est-àdire si
a 1 + · · · + a k = a i1 + (−a i1 ) + · · · + a ir + (−a ir )
ou encore si cet élément est dans l’image de p
! .
On a donc une suite exacte de complexes, qui, comme il se doit, définit
une suite exacte longue
HM k (P
n (R); Z/2)
/ / HM k (S
n ; Z/2)
/ / HM k (P
n (R); Z/2))
∂ ee ee ee ee ee ee e
r r ee ee ee ee ee ee e
HM k−1 (P
n (R); Z/2)
/ / · · ·
en homologie de Morse. On en déduit que le connectant
∂ : HM k (P
n (R); Z/2) −→ HM k−1 (P
n (R); Z/2)
est un isomorphisme pour 0 ≤ k ≤ n. On a donc démontré :
Théorème 4.8.2. On a HM k (P
n (R); Z/2) ∼ = Z/2 pour 0 ≤ k ≤ n.
Pour l’homologie entière (les questions d’orientation sont ici à traiter avec
soin), voir l’exercice 24 page 105.