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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Au paragraphe suivant, nous aurons besoin d’une description explicite
du connectant de cette suite exacte. Il suffit de suivre la définition abstraite
de celui-ci.
Commençons par ∂ : HM 1 (P
n (R); Z/2) → HM 0 (P
n (R); Z/2). Une
combinaison linéaire
γ = γ 1 + · · · + γ r , γ i ∈ Crit 1 (f )
qui est un cycle (∂ X α = 0) s’écrit comme somme d’éléments α 1 + · · · + α s
avec
∂ X α i = β i + β i+1 , β 1 , . . . , β s , β s+1 = β 1 ∈ Crit 0 (f ).
Le cycle se représente donc comme réunion des trajectoires joignant les α i
aux β i (de façon analogue à ce que l’on a vu sur la figure 5, on a ici un lacet
dans P
n (R)).
On relève maintenant ce cycle dans la sphère. Nous savons que le résultat
final ne dépendra d’aucun des choix faits. Commençons donc par choisir
un a 1 au-dessus de α 1 , de sorte que ∂
X
a 1 = b 1 + b 2 , avec p(b 1 ) = β 1 et
p(b 2 ) = β 2 . On relève ensuite α 2 en choisissant celui des deux relevés, a 2 tel
que ∂
X
a 2 = b 2 + b 3 pour le b 2 déjà déterminé. Le résultat final est un relevé
a = a 1 + · · · + a s
avec ∂
X
a = b 1 + b 2 + b 2 + · · · + b s + b s+1 = b 1 + b s+1
(on a relevé le lacet en un chemin sur la sphère). Le connectant est
∂(α) =
0
s ib s+1 = b s
[p(b 1 )] = [β 1 ] sinon.
Plus généralement, commençons par choisir un hémisphère, sud par
exemple, pour changer, de la sphère S
n . Si a est un cycle dans (C k (f ), ∂ X ),
a = a 1 + · · · + a r ,
on choisit des relevés α i des a i dans l’hémisphère sud, obtenant une somme
α = α 1 + · · · + α r
dont l’image par p est notre cycle a. On a
∂
X
α = β 1 + · · · + β s ,
une combinaison linéaire de points critiques d’indices k − 1 de
f . On a alors
∂[a] = [p(β 1 ) + · · · + p(β s )].