4.8. APPLICATIONS
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4.8.d. Le théorème de Borsuk-Ulam. Démontrons maintenant le célèbre théorème :
Théorème 4.8.3 (Borsuk-Ulam). Il n’existe pas d’application continue
ϕ : S
n
−→ S
n−1
telle que ϕ(−x) = −ϕ(x) pour tout x.
Ce théorème a des applications plus ou moins folkloriques (par exemple,
le fait passionnant qu’il existe à chaque instant deux points antipodaux sur
la Terre où la température et la pression ont la même valeur).
Corollaire 4.8.4. Soit ψ : S
n
→ R
n une application continue telle que
ψ(−x) = −ψ(x) pour tout x. Alors ψ s’annule en au moins un point de S
n .
En effet, si ψ ne s’annulait pas, elle définirait une application ϕ = ψ/ ψ
à valeurs dans S
n−1 et interdite par le théorème.
Voici le théorème température-pression :
Corollaire 4.8.5. Pour toute application ψ : S
n
→ R
n , il existe au moins un
point x de S
n tel que ψ(x) = ψ(−x).
Notons en particulier qu’il n’existe pas d’injection de S
n dans R
n . Le
corollaire se démontre en considérant ϕ(x) = ψ(x) − ψ(−x).
Corollaire 4.8.6. Soient F 1 , F 2 , . . . , F n+1 des fermés non vides sur la
sphère S
n dont la réunion est la sphère tout entière. Alors l’un d’eux
contient deux points antipodaux.
Il suffit d’utiliser l’application
ψ(x) = (d(x, F 1 ), d(x, F 2 ), . . . , d(x, F n )).
Démonstration du théorème 4.8.3. Bien sûr, comme dans le cas du théorème de Brouwer, on va montrer qu’il n’existe pas d’application C
∞ ayant
les propriétés voulues (le résultat pour les applications continues s’en déduit). Une application ϕ ayant ces propriétés induirait une application
ψ : P
n (R) → P
n−1 (R), dont nous allons montrer qu’elle ne peut exister.
Soit donc ψ une application C
∞ de P
n (R) dans P
n−1 (R). Considérons
le diagramme
HM k (P
n (R); Z/2)
ψ / /
∂
HM k (P
n−1 (R); Z/2)
∂
HM k−1 (P
n (R); Z/2)
ψ
/ / HM k−1 (P
n−1 (R); Z/2)