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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
où le « connectant » ∂ a été défini au § 4.8.c. Pour k ≤ n, les deux flèches verticales sont des isomorphismes. Si nous avions démontré que le diagramme
commute, on en déduirait que
ψ : HM n (P
n (R); Z/2) −→ HM n (P
n−1 (R); Z/2)
est aussi un isomorphisme, une absurdité manifeste : l’un est nul, l’autre
pas.
Il reste donc à vérifier que le diagramme commute, ce qui est clair, après
la description du connectant ∂ de la suite exacte longue que nous avons
donnée ci-dessus.
4.8.e. L’homologie de la variété. Dans ce paragraphe (que l’on peut
sauter si l’on ne sait pas ce qu’est l’homologie cellulaire), nous suggérons
une façon de démontrer que le complexe des points critiques calcule bien
l’homologie cellulaire de la variété, en d’autres termes que les variétés stables
constituent une décomposition cellulaire. On construit d’abord une fonction
de Morse ordonnée f sur V , ce qui veut dire que tous les points critiques
d’indice k de f sont au niveau k :
c ∈ Crit k (f ) =⇒ f (c) = k.
C’est le cas par exemple de la fonction 1 + f/2 où f est la fonction de Morse
que nous avons utilisée sur le tore (celle du § 1.4.c du chapitre 1) ou de
la fonction (x, y, z) → z + 1 sur la sphère unité de R
3 . Une telle fonction
se construit à partir d’une fonction de Morse quelconque en montant et
descendant les points critiques selon des modèles que l’on trouve par exemple
dans [46].
Ainsi le théorème 2.1.11 implique que
H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2) ∼ = C k (f ).
De plus, pour un champ de pseudo-gradients adapté X, le connectant
∂ : H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2) −→ H k−1 (V
k−1/2 , V
k−3/2 ; Z/2)
de la suite exacte du triple (V
k+1/2 , V
k−1/2 , V
k−3/2 ) s’identifie à ∂ X . On
en déduit le résultat en montrant que le complexe
(H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2), ∂)
calcule l’homologie cellulaire de V .
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
où le « connectant » ∂ a été défini au § 4.8.c. Pour k ≤ n, les deux flèches verticales sont des isomorphismes. Si nous avions démontré que le diagramme
commute, on en déduirait que
ψ : HM n (P
n (R); Z/2) −→ HM n (P
n−1 (R); Z/2)
est aussi un isomorphisme, une absurdité manifeste : l’un est nul, l’autre
pas.
Il reste donc à vérifier que le diagramme commute, ce qui est clair, après
la description du connectant ∂ de la suite exacte longue que nous avons
donnée ci-dessus.
4.8.e. L’homologie de la variété. Dans ce paragraphe (que l’on peut
sauter si l’on ne sait pas ce qu’est l’homologie cellulaire), nous suggérons
une façon de démontrer que le complexe des points critiques calcule bien
l’homologie cellulaire de la variété, en d’autres termes que les variétés stables
constituent une décomposition cellulaire. On construit d’abord une fonction
de Morse ordonnée f sur V , ce qui veut dire que tous les points critiques
d’indice k de f sont au niveau k :
c ∈ Crit k (f ) =⇒ f (c) = k.
C’est le cas par exemple de la fonction 1 + f/2 où f est la fonction de Morse
que nous avons utilisée sur le tore (celle du § 1.4.c du chapitre 1) ou de
la fonction (x, y, z) → z + 1 sur la sphère unité de R
3 . Une telle fonction
se construit à partir d’une fonction de Morse quelconque en montant et
descendant les points critiques selon des modèles que l’on trouve par exemple
dans [46].
Ainsi le théorème 2.1.11 implique que
H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2) ∼ = C k (f ).
De plus, pour un champ de pseudo-gradients adapté X, le connectant
∂ : H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2) −→ H k−1 (V
k−1/2 , V
k−3/2 ; Z/2)
de la suite exacte du triple (V
k+1/2 , V
k−1/2 , V
k−3/2 ) s’identifie à ∂ X . On
en déduit le résultat en montrant que le complexe
(H k (V
k+1/2 , V
k−1/2 ; Z/2), ∂)
calcule l’homologie cellulaire de V .