EXERCICES
103
k − 1
k −
1
2
k
k +
1
2
Figure 7
Exercices
Exercice 16. Existe-t-il une fonction de Morse sur S
2
× S
2 qui ait un minimum, un maximum, un point critique d’indice 2, et tous ses autres points
critiques d’indices 1 ou 3 ?
Exercice 17. Montrer que l’espace projectif complexe P
n (C) est simplement
connexe.
Exercice 18. La quadrique Q de l’exercice 8 (page 18) est-elle difféomorphe
à P
2 (C) ?
On envoie P
1 (C) × P
1 (C) dans P
3 (C) par
([a, b], [u, v]) −→ [au, bu, av, bv].
Montrer que c’est un plongement dont l’image est décrite par l’équation
z 0 z 3 − z 1 z 2 = 0.
Démontrer que Q est difféomorphe à S
2
× S
2 .
Exercice 19. La figure 8 représente le graphe d’un difféomorphisme ϕ :
] − 1, 1[ → ] − 1, 1[. On pose a = ϕ(0). Montrer que ϕ est le flot au temps 1
d’un champ de vecteurs sur ] − 1, 1[, que l’on dessinera. Soit D le disque
103
k − 1
k −
1
2
k
k +
1
2
Figure 7
Exercices
Exercice 16. Existe-t-il une fonction de Morse sur S
2
× S
2 qui ait un minimum, un maximum, un point critique d’indice 2, et tous ses autres points
critiques d’indices 1 ou 3 ?
Exercice 17. Montrer que l’espace projectif complexe P
n (C) est simplement
connexe.
Exercice 18. La quadrique Q de l’exercice 8 (page 18) est-elle difféomorphe
à P
2 (C) ?
On envoie P
1 (C) × P
1 (C) dans P
3 (C) par
([a, b], [u, v]) −→ [au, bu, av, bv].
Montrer que c’est un plongement dont l’image est décrite par l’équation
z 0 z 3 − z 1 z 2 = 0.
Démontrer que Q est difféomorphe à S
2
× S
2 .
Exercice 19. La figure 8 représente le graphe d’un difféomorphisme ϕ :
] − 1, 1[ → ] − 1, 1[. On pose a = ϕ(0). Montrer que ϕ est le flot au temps 1
d’un champ de vecteurs sur ] − 1, 1[, que l’on dessinera. Soit D le disque