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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
ouvert de centre 0 et de rayon 1 dans R
N et soit a ∈ D. Construire un
champ de vecteurs sur D dont le flot vérifie ϕ
1 (0) = a.
0
a
Figure 8
0
a
Figure 9
Exercice 20. Si u : V → W est une application de classe C
∞ et si V et W
sont des variétés compactes et connexes, alors
u : HM 0 (V ; Z/2) −→ HM 0 (W ; Z/2)
est un isomorphisme (l’identité puisque chacun de ces deux espaces est isomorphe à Z/2).
Exercice 21. Soit V une variété compacte sans bord de dimension n et soit D
un disque de dimension n plongé dans V . Montrer que
HM n (V − D; Z/2) = 0.
En déduire que, si u : V
n
→ W
n est une application de classe C
∞ qui induit
une application
u : HM n (V ; Z/2) −→ HM n (W ; Z/2)
non nulle, alors elle est surjective.
Exercice 22. Soit W une variété compacte à bord de dimension n + 1 et
soit V son bord, V = ∂W .
(1) Montrer que l’inclusion V ⊂ W induit l’application nulle de
HM n (V ; Z/2) dans HM n (W ; Z/2).
(2) En déduire que, si u : V → Z est une application C
∞ de V dans
une variété Z de la même dimension dont l’application u induite au niveau
HM n n’est pas nulle, alors u ne peut être prolongée en une application
u : W → Z.