EXERCICES
105
(3) Et en particulier, il n’existe aucune application de W sur son bord
qui se restreigne en l’identité sur le bord (rétraction). Le cas W = D
n+1 est
celui du théorème de Brouwer.
Exercice 23. Soit V une variété compacte. Montrer qu’il n’existe pas de
rétraction de V sur une de ses parties strictes (voir au besoin le § 4.8.b).
Exercice 24. Décrire les variétés stables et instables, avec orientations et
co-orientations, dans le cas de la fonction de Morse f considérée dans l’exercice 6 et d’un champ de pseudo-gradient X sur P
2 (R). Calculer l’homologie
du complexe (C (f ; Z), ∂ X ). Montrer que
HM k (P 2 (R); Z) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Z
si k = 0,
Z/2 si k = 1,
0
sinon.
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(3) Et en particulier, il n’existe aucune application de W sur son bord
qui se restreigne en l’identité sur le bord (rétraction). Le cas W = D
n+1 est
celui du théorème de Brouwer.
Exercice 23. Soit V une variété compacte. Montrer qu’il n’existe pas de
rétraction de V sur une de ses parties strictes (voir au besoin le § 4.8.b).
Exercice 24. Décrire les variétés stables et instables, avec orientations et
co-orientations, dans le cas de la fonction de Morse f considérée dans l’exercice 6 et d’un champ de pseudo-gradient X sur P
2 (R). Calculer l’homologie
du complexe (C (f ; Z), ∂ X ). Montrer que
HM k (P 2 (R); Z) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
Z
si k = 0,
Z/2 si k = 1,
0
sinon.