4.6. FONCTORIALITÉ DE L’HOMOLOGIE DE MORSE
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Remarque 4.5.6. La démonstration de 4.5.1 donne aussi le fait qu’une fonction de Morse sur une variété compacte et connexe qui n’a pas de point
critique d’indice 1 a un unique minimum local, un résultat essentiel dans
la démonstration d’un célèbre théorème de géométrie symplectique, le théorème de convexité d’Atiyah, Guillemin et Sternberg (voir par exemple [5]
et les références aux articles originaux qui y sont contenues).
4.5.b. Groupe fondamental et homologie (à suivre). Dans le même
ordre d’idées, et sans réellement utiliser le complexe de Morse, commençons
à comparer le groupe fondamental et le premier groupe d’homologie de la
variété (connexe) V . Le résultat le meilleur possible serait que HM 1 (V ; Z)
est le plus grand quotient abélien du groupe π 1 (V ). Nous montrerons plus
bas (au § 4.8.a) que, si V est simplement connexe, alors HM 1 (V ; Z) est nul.
Contentons-nous pour l’instant de remarquer :
Proposition 4.5.7. Si la variété V possède une fonction de Morse qui n’a
aucun point critique d’indice 1, alors elle est simplement connexe.
Démonstration. On peut supposer V connexe par arcs et choisir un minimum (disons a 0 ) de f comme point base. Soit un lacet C dans V . On peut
supposer que ce lacet est différentiable. Si b est un point critique d’indice k,
nous savons que dim W
s (b) = n − k. Par position générale, on peut donc
supposer que C ne rencontre aucune des variétés stables des points critiques
d’indices plus grands ou égaux à 2. Comme nous avons supposé qu’il n’y a
aucun point critique d’indice 1, C est contenu dans la réunion des variétés
stables des minimums locaux. Ces variétés stables sont disjointes, puisqu’il
n’y a pas de point critique d’indice 1 (c’est l’argument utilisé ci-dessus).
Donc C est contenu dans l’une d’entre elles, celle de a 0 . Mais celle-ci est un
disque, dans lequel on n’a aucun mal à contracter C sur le point base a 0 .
Exemple 4.5.8. Par exemple, la sphère S
n est simplement connexe dès que
n ≥ 2.
4.6. Fonctorialité de l’homologie de Morse
On a vu (c’est la remarque 4.1.2) qu’un difféomorphisme entre deux variétés induisait un isomorphisme en homologie de Morse. Nous aimerions
démontrer plus généralement qu’une application C
∞ induit un homomorphisme. Hélas, une application u : V → W ne permet pas de construire une
fonction de Morse sur V à partir d’une fonction de Morse sur W , donc il va
falloir être plus subtil.
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Remarque 4.5.6. La démonstration de 4.5.1 donne aussi le fait qu’une fonction de Morse sur une variété compacte et connexe qui n’a pas de point
critique d’indice 1 a un unique minimum local, un résultat essentiel dans
la démonstration d’un célèbre théorème de géométrie symplectique, le théorème de convexité d’Atiyah, Guillemin et Sternberg (voir par exemple [5]
et les références aux articles originaux qui y sont contenues).
4.5.b. Groupe fondamental et homologie (à suivre). Dans le même
ordre d’idées, et sans réellement utiliser le complexe de Morse, commençons
à comparer le groupe fondamental et le premier groupe d’homologie de la
variété (connexe) V . Le résultat le meilleur possible serait que HM 1 (V ; Z)
est le plus grand quotient abélien du groupe π 1 (V ). Nous montrerons plus
bas (au § 4.8.a) que, si V est simplement connexe, alors HM 1 (V ; Z) est nul.
Contentons-nous pour l’instant de remarquer :
Proposition 4.5.7. Si la variété V possède une fonction de Morse qui n’a
aucun point critique d’indice 1, alors elle est simplement connexe.
Démonstration. On peut supposer V connexe par arcs et choisir un minimum (disons a 0 ) de f comme point base. Soit un lacet C dans V . On peut
supposer que ce lacet est différentiable. Si b est un point critique d’indice k,
nous savons que dim W
s (b) = n − k. Par position générale, on peut donc
supposer que C ne rencontre aucune des variétés stables des points critiques
d’indices plus grands ou égaux à 2. Comme nous avons supposé qu’il n’y a
aucun point critique d’indice 1, C est contenu dans la réunion des variétés
stables des minimums locaux. Ces variétés stables sont disjointes, puisqu’il
n’y a pas de point critique d’indice 1 (c’est l’argument utilisé ci-dessus).
Donc C est contenu dans l’une d’entre elles, celle de a 0 . Mais celle-ci est un
disque, dans lequel on n’a aucun mal à contracter C sur le point base a 0 .
Exemple 4.5.8. Par exemple, la sphère S
n est simplement connexe dès que
n ≥ 2.
4.6. Fonctorialité de l’homologie de Morse
On a vu (c’est la remarque 4.1.2) qu’un difféomorphisme entre deux variétés induisait un isomorphisme en homologie de Morse. Nous aimerions
démontrer plus généralement qu’une application C
∞ induit un homomorphisme. Hélas, une application u : V → W ne permet pas de construire une
fonction de Morse sur V à partir d’une fonction de Morse sur W , donc il va
falloir être plus subtil.