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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
les orbites aboutissant à a j en passant par un point critique d’indice 1. La
figure 2 représente une partie de N , avec les parties correspondantes de A 1
et A i1 .
Comme N est connexe, il existe un indice i 1 > 1 tel que A 1 ∩ A i1 = ∅.
Dans cette intersection, il y a forcément un point critique d’indice 1, disons c 1 . On a
∂ X c 1 = a 1 + a i1 ,
donc a i1 est dans la même classe d’homologie que a 1 . Et en plus, A 1 ∪A i1 est
connexe. Donc il existe un indice i 2 tel que (A 1 ∪ A i1 ) ∩ A i2 = ∅. De même,
cette intersection contient une trajectoire provenant d’un point critique c 2
d’indice 1, de sorte que l’on a
∂ X c 2 = a 1 + a i2 ou ∂ X c 2 = a i1 + a i2 .
Dans les deux cas, la classe d’homologie de a i2 est la même que celle de a 1 .
On montre ainsi en épuisant les a i qu’ils sont tous homologues à a 1 .
Remarque 4.5.2. Cette démonstration est complètement analogue à celle
que nous avons utilisée dans la classification des variétés de dimension 1
(au § 2.3.b).
En appliquant la dualité de Poincaré, on déduit de la proposition 4.5.1 :
Corollaire 4.5.3. Soit V une variété compacte et connexe de dimension n.
Alors HM n (V ; Z/2) ∼ = Z/2.
Remarque 4.5.4. La proposition 4.5.1 est vraie sur Z, comme on s’en convaincra en faisant attention aux orientations dans la démonstration. L’analogue
du corollaire 4.5.3 affirme alors que, si V est une variété compacte, connexe
et orientée de dimension n, alors HM n (V ; Z) ∼ = Z.
Corollaire 4.5.5. Soit V une variété compacte de dimension n. Alors
HM 0 (V ; Z/2) et HM n (V ; Z/2) sont des Z/2-espaces vectoriels de dimension le nombre de composantes connexes de V .
Démonstration. On écrit V comme réunion disjointe de ses composantes
connexes
V =
k
i=1
V i .
Sur chaque V i , on choisit une fonction de Morse f i et un champ de vecteurs
ad hoc X i . Il est clair que
C (
f i ) =
C (f i ) et ∂
Xi = ⊕∂ Xi ,
d’où le résultat.
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
les orbites aboutissant à a j en passant par un point critique d’indice 1. La
figure 2 représente une partie de N , avec les parties correspondantes de A 1
et A i1 .
Comme N est connexe, il existe un indice i 1 > 1 tel que A 1 ∩ A i1 = ∅.
Dans cette intersection, il y a forcément un point critique d’indice 1, disons c 1 . On a
∂ X c 1 = a 1 + a i1 ,
donc a i1 est dans la même classe d’homologie que a 1 . Et en plus, A 1 ∪A i1 est
connexe. Donc il existe un indice i 2 tel que (A 1 ∪ A i1 ) ∩ A i2 = ∅. De même,
cette intersection contient une trajectoire provenant d’un point critique c 2
d’indice 1, de sorte que l’on a
∂ X c 2 = a 1 + a i2 ou ∂ X c 2 = a i1 + a i2 .
Dans les deux cas, la classe d’homologie de a i2 est la même que celle de a 1 .
On montre ainsi en épuisant les a i qu’ils sont tous homologues à a 1 .
Remarque 4.5.2. Cette démonstration est complètement analogue à celle
que nous avons utilisée dans la classification des variétés de dimension 1
(au § 2.3.b).
En appliquant la dualité de Poincaré, on déduit de la proposition 4.5.1 :
Corollaire 4.5.3. Soit V une variété compacte et connexe de dimension n.
Alors HM n (V ; Z/2) ∼ = Z/2.
Remarque 4.5.4. La proposition 4.5.1 est vraie sur Z, comme on s’en convaincra en faisant attention aux orientations dans la démonstration. L’analogue
du corollaire 4.5.3 affirme alors que, si V est une variété compacte, connexe
et orientée de dimension n, alors HM n (V ; Z) ∼ = Z.
Corollaire 4.5.5. Soit V une variété compacte de dimension n. Alors
HM 0 (V ; Z/2) et HM n (V ; Z/2) sont des Z/2-espaces vectoriels de dimension le nombre de composantes connexes de V .
Démonstration. On écrit V comme réunion disjointe de ses composantes
connexes
V =
k
i=1
V i .
Sur chaque V i , on choisit une fonction de Morse f i et un champ de vecteurs
ad hoc X i . Il est clair que
C (
f i ) =
C (f i ) et ∂
Xi = ⊕∂ Xi ,
d’où le résultat.