4.5. HOMOLOGIE ET CONNEXITÉ
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a 1
a i1
c 1
A 1
A i1
Figure 2
Plus précisément, appelons B le sous-espace vectoriel de dimension r − 1
dans C 0 (f ) qui est engendré par les a 1 + a i (pour 2 ≤ i ≤ r) et montrons
que B est précisément l’image de
∂ X : C 1 (f ) −→ C 0 (f ).
Commençons par montrer que ∂ X C 1 ⊂ B, qui est l’inclusion facile. Soit c
un point critique d’indice 1. Sa variété instable est de dimension 1, il n’y a
donc que deux trajectoires de X issues de c, atteignant deux minima locaux a i et a j (pas nécessairement distincts). On a donc
∂ X c = a i + a j = (a 1 + a i ) + (a 1 + a j ) ∈ B.
Donc ∂ X (C 1 (f )) ⊂ B.
Montrons réciproquement que B ⊂ ∂ X (C 1 (f )) (c’est le cœur de la
preuve). Il suffit de montrer que, pour tout i, a i est dans la même classe
d’homologie que a 1 . Soit
N = V −
Ind(x),Ind(y)≥2
M(x, y).
Remarquons que, avec Ind(x) et Ind(y) ≥ 2, codim M(x, y) ≥ 2, de sorte
que N est connexe. Posons, pour j = 1, . . . , r,
A j = {x ∈ N | x est sur une trajectoire (brisée) aboutissant à a j } .
Les ensembles A j sont connexes (tous les points de A j sont reliés à a j ), N
est la réunion des A j et A j est la réunion de la variété stable de a j avec