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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
La formule de Künneth donne immédiatement la relation
P V1×V2 (t) = P V1 (t)P V2 (t).
On en déduit, en écrivant T
n = S
1
× · · · × S
1 (n fois) que
β k (T
n ) = C
k
n .
En particulier, en appliquant la remarque 4.1.2, on en déduit que la
sphère S
n n’est difféomorphe au tore T
n que si n = 1. Il y a évidemment
des manières plus rapides que la théorie de Morse d’arriver à ce résultat
(par exemple, la sphère est simplement connexe et pas le tore).
On en déduit aussi (pour t = −1) que
χ(V 1 × V 2 ) = χ(V 1 )χ(V 2 ).
Exemple 4.4.8. On trouve χ(S
2
× S
2 ) = 4. En utilisant la fonction hauteur
sur S
2 , on obtient par produit une fonction de Morse sur S
2
× S
2 qui a
seulement quatre points critiques, un minimum, un maximum et deux points
critiques d’indice 2, ce qui est cohérent, puisque 1 + 2 + 1 = 4.
4.5. Homologie et connexité
4.5.a. Composantes connexes et homologie.
Proposition 4.5.1. Si V est une variété compacte et connexe,
HM 0 (V ; Z/2) ∼ = Z/2.
Démonstration. On choisit une fonction de Morse f sur V et on considère
ses minima locaux a 1 , . . . , a r . Ils ont des voisinages (donnés par le lemme
de Morse) disjoints. On choisit aussi un pseudo-gradient (avec la propriété
de Smale) adapté X.
L’idée de la démonstration est la suivante. Comme la variété est connexe,
on doit avoir un point critique au-dessus de a 1 et une carte de Morse qui
permet de joindre le voisinage utilisé de a 1 à un autre des disques, disons
autour de a i . Si l’indice d’un point critique est k, la carte de Morse va
s’attacher à un niveau juste en-dessous par une application de S
k−1 dans
ce sous-niveau. Pour k ≥ 2, cette sphère est connexe et ne peut être utilisée
pour connecter les deux disques autour de a 1 et a i . Il y a donc un point
critique c d’indice 1 relié à a 1 et à a i par des trajectoires de X. Ainsi
∂ X c = a 1 + a i .
On montre ainsi que tous les points critiques d’indice 0 sont homologues.
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
La formule de Künneth donne immédiatement la relation
P V1×V2 (t) = P V1 (t)P V2 (t).
On en déduit, en écrivant T
n = S
1
× · · · × S
1 (n fois) que
β k (T
n ) = C
k
n .
En particulier, en appliquant la remarque 4.1.2, on en déduit que la
sphère S
n n’est difféomorphe au tore T
n que si n = 1. Il y a évidemment
des manières plus rapides que la théorie de Morse d’arriver à ce résultat
(par exemple, la sphère est simplement connexe et pas le tore).
On en déduit aussi (pour t = −1) que
χ(V 1 × V 2 ) = χ(V 1 )χ(V 2 ).
Exemple 4.4.8. On trouve χ(S
2
× S
2 ) = 4. En utilisant la fonction hauteur
sur S
2 , on obtient par produit une fonction de Morse sur S
2
× S
2 qui a
seulement quatre points critiques, un minimum, un maximum et deux points
critiques d’indice 2, ce qui est cohérent, puisque 1 + 2 + 1 = 4.
4.5. Homologie et connexité
4.5.a. Composantes connexes et homologie.
Proposition 4.5.1. Si V est une variété compacte et connexe,
HM 0 (V ; Z/2) ∼ = Z/2.
Démonstration. On choisit une fonction de Morse f sur V et on considère
ses minima locaux a 1 , . . . , a r . Ils ont des voisinages (donnés par le lemme
de Morse) disjoints. On choisit aussi un pseudo-gradient (avec la propriété
de Smale) adapté X.
L’idée de la démonstration est la suivante. Comme la variété est connexe,
on doit avoir un point critique au-dessus de a 1 et une carte de Morse qui
permet de joindre le voisinage utilisé de a 1 à un autre des disques, disons
autour de a i . Si l’indice d’un point critique est k, la carte de Morse va
s’attacher à un niveau juste en-dessous par une application de S
k−1 dans
ce sous-niveau. Pour k ≥ 2, cette sphère est connexe et ne peut être utilisée
pour connecter les deux disques autour de a 1 et a i . Il y a donc un point
critique c d’indice 1 relié à a 1 et à a i par des trajectoires de X. Ainsi
∂ X c = a 1 + a i .
On montre ainsi que tous les points critiques d’indice 0 sont homologues.