4.4. CARACTÉRISTIQUE D’EULER, POLYNÔME DE POINCARÉ
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point critique dégénéré est au centre, les deux autres points critiques sont
le maximum et le minimum, c’est une « selle de singe » (voir l’exercice 3
page 17).
Figure 1. Niveaux d’une fonction avec trois points critiques sur
le tore
Il est d’ailleurs possible, sur une variété compacte et connexe de dimension n, de construire une fonction avec n + 1 points critiques. Une stratégie,
développée dans [68], est de construire d’abord sur la variété une fonction
de Morse avec au plus n + 1 niveaux critiques tous connexes (un résultat de
Smale, voir [46]), puis de modifier la fonction au voisinage de chaque niveau
critique, de façon qu’elle n’ait plus qu’un point critique (dégénéré) dans ce
niveau.
Exemple 4.4.6. La caractéristique d’Euler de la sphère S
n est χ(S
n ) = 1 +
(−1)
n , soit 0 si n est impair et 2 si n est pair. Par exemple, la caractéristique
d’Euler de la sphère de dimension 2 est 2. C’est le même Euler, le même 2 et
la même somme alternée que dans la « formule d’Euler » sur les nombres F
de faces, A d’arêtes et S de sommets d’un polyèdre convexe, F − A + S = 2.
Remarque 4.4.7. La caractéristique d’Euler d’une variété compacte sans bord
de dimension impaire est nulle : grâce à la dualité de Poincaré, dans la
somme alternée, les termes s’annulent deux à deux.
À l’aide des nombres de Betti, β k (V ) = dim HM k (V ; Z/2) on définit le
polynôme de Poincaré
P V (t) =
k
β k (V )t
k .
Par exemple, P S 1 (t) = 1 + t et plus généralement,
P S n (t) = 1 + t
n .
De même,
P P n (C) (t) = 1 + t
2 + · · · + t
2n ,
et
P T 2 (t) = 1 + 2t + t
2 , P P 2 (R) = 1 + t + t
2 .