80
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Mais nous avons utilisé le « théorème noyau-image », il était donc prudent
de nous placer dans des espaces vectoriels, c’est-à-dire sur un corps, c’est
pourquoi c’est de l’homologie à coefficients dans Z/2 qui apparaît ici.
Ce nombre est la caractéristique d’Euler de la variété V (modulo 2). La
caractéristique d’Euler est, par définition :
χ(V ) =
n
k=0
(−1)
k dim HM k (V ; Z/2)
=
n
k=0
(−1)
k (dim Ker ∂ k − dim Im ∂ k+1 )
=
n
k=0
(−1)
k (dim Ker ∂ k + dim Im ∂ k )
=
n
k=0
(−1)
k dim C k (f ).
De sorte que la caractéristique d’Euler d’une variété est la somme alternée
des nombres de points critiques d’une fonction de Morse sur celle-ci.
En étant moins grossier, c’est-à-dire en écrivant
# Crit(f ) ≥
n
k=0
(dim Ker ∂ k − dim Im ∂ k+1 ) =
n
k=0
dim HM k (V ; Z/2),
on obtient :
Proposition 4.4.3 (inégalités de Morse). Le nombre de points critiques d’une
fonction de Morse sur une variété V est supérieur ou égal à la somme des
dimensions des groupes d’homologie (de Morse, modulo 2) de cette variété.
Si l’on définit c k (f ) comme le nombre de points critiques d’indice k de la
fonction de Morse f et β k = dim HM k (V ; Z/2) (le k-ème nombre de Betti
de V ), la proposition s’écrit
c k (f ) ≥ β k , 0 ≤ k,
une série d’inégalités connues sous le nom d’inégalités de Morse.
Exemple 4.4.4. Nous avons vu que dans le cas du tore T
2 la somme des
dimensions des groupes d’homologie était 4. Donc une fonction de Morse
sur le tore doit avoir au moins quatre points critiques.
Remarque 4.4.5. Il est possible de construire une fonction (dégénérée) sur le
tore qui n’a que trois points critiques (mais pas moins, à cause du théorème
de Reeb, le corollaire 2.1.9, et de la remarque qui le suit). Voir la figure 1, le