4.4. CARACTÉRISTIQUE D’EULER, POLYNÔME DE POINCARÉ
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de W
s (a
) = W
u (a). Pour écrire un énoncé simple, supposons donc que
la variété V est orientée : ainsi une orientation de W
s (a) définit-elle une
orientation (et pas seulement une co-orientation) de W
u (a). Les arguments
utilisés ci-dessus restent valables et on obtient une proposition analogue.
Proposition 4.3.2 (dualité de Poincaré pour les variétés orientées). Soit V une
variété compacte orientée de dimension n. Si V est sans bord, HM n−k (V ; Z)
est isomorphe à HM k (V ; Z). Si V a un bord ∂V = ∂ + V ∪ ∂ − V , alors
HM k (V, ∂ + V ; Z) est isomorphe à HM n−k (V, ∂ − V ; Z).
4.4. Caractéristique d’Euler, polynôme de Poincaré
Voici une application directe de l’indépendance de l’homologie.
Corollaire 4.4.1. Le nombre de points critiques modulo 2 d’une fonction de
Morse ne dépend que de la variété et pas de la fonction.
Démonstration. On écrit le complexe associé à une fonction de Morse et à
un pseudo-gradient :
0
∂ n+1
− −−−− → C n
∂ n
− −− → C n−1 −→ · · ·
∂ 1
− −− → C 0
∂ 0
− −− → 0.
On calcule ensuite
# Crit(f ) =
n
k=0
dim C k (f )
=
n+1
k=0
(dim Ker ∂ k + dim Im ∂ k )
=
n
k=0
(dim Ker ∂ k + dim Im ∂ k+1 )
≡
n
k=0
(dim Ker ∂ k − dim Im ∂ k+1 ) mod 2
=
n
k=0
dim HM k (V ; Z/2).
Remarque 4.4.2. Nous n’avons utilisé ici que de l’algèbre, la définition de
l’homologie à partir du complexe et montré que
k
(−1)
k dim C k =
k
(−1)
k dim HM k .