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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Ceci fonctionne bien sur Z (avec orientations) ou sur Z/2 (sans). Le
passage à l’homologie nécessite, lui, de nous placer sur Z/2 (voir au besoin
l’algèbre homologique nécessaire au § 15.1.a). Nous en déduisons :
Corollaire 4.2.2. L’homologie modulo 2 de (C (f + g), ∂ (X,Y ) ) sur le produit M × N est isomorphe au produit tensoriel de celles de (C (f ), ∂ X ) et
(C (g), ∂ Y ).
Corollaire 4.2.3 (formule de Künneth). Si M et N sont deux variétés compactes, on a un isomorphisme
HM k (M × N ; Z/2) −→
i+j=k
HM i (M ; Z/2) ⊗ HM j (N ; Z/2).
4.3. La « dualité de Poincaré »
On sait que les points critiques d’indice k de f sont les points critiques
d’indice n − k de −f (n est la dimension de la variété). De plus, si X est
un pseudo-gradient adapté à f , −X en est un, qui est adapté à f .
Si a ∈ Crit k (f ), notons a
le même point, vu comme point critique de la
fonction −f . De sorte que
{a | a ∈ Crit k (f )} est une base de C k (f )
alors que
{a
| a ∈ Crit k (f )} est une base de C n−k (−f ).
L’espace vectoriel C n−k (−f ) est isomorphe à C k (f ), mais il est préférable
d’y penser comme étant son dual (d’où la notation)
C n−k (−f ) = C k (f )
.
Ainsi, par définition, la transposée
t
∂ X : C n−k+1 (−f ) −→ C n−k (−f ) de ∂ X : C k (f ) −→ C k−1 (f )
est la différentielle ∂ −X du complexe (C (−f ), ∂ −X ). On a donc :
Proposition 4.3.1 (dualité de Poincaré). Soit V une variété compacte de
dimension n. Si V est sans bord, HM n−k (V ; Z/2) est isomorphe à
HM k (V ; Z/2). Si V a un bord ∂V = ∂ + V ∪ ∂ − V , alors HM k (V, ∂ + V ; Z/2)
est isomorphe à HM n−k (V, ∂ − V ; Z/2).
Par exemple (c’est le cas où ∂ + V = ∅),
HM k (V ; Z/2) est isomorphe à HM n−k (V, ∂V ; Z/2).
Pour pouvoir énoncer un résultat analogue en homologie à coefficients
entiers, il faut pouvoir associer à un point critique a d’indice k de f avec
une orientation de W
s (a), un point critique a
de −f avec une orientation
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Ceci fonctionne bien sur Z (avec orientations) ou sur Z/2 (sans). Le
passage à l’homologie nécessite, lui, de nous placer sur Z/2 (voir au besoin
l’algèbre homologique nécessaire au § 15.1.a). Nous en déduisons :
Corollaire 4.2.2. L’homologie modulo 2 de (C (f + g), ∂ (X,Y ) ) sur le produit M × N est isomorphe au produit tensoriel de celles de (C (f ), ∂ X ) et
(C (g), ∂ Y ).
Corollaire 4.2.3 (formule de Künneth). Si M et N sont deux variétés compactes, on a un isomorphisme
HM k (M × N ; Z/2) −→
i+j=k
HM i (M ; Z/2) ⊗ HM j (N ; Z/2).
4.3. La « dualité de Poincaré »
On sait que les points critiques d’indice k de f sont les points critiques
d’indice n − k de −f (n est la dimension de la variété). De plus, si X est
un pseudo-gradient adapté à f , −X en est un, qui est adapté à f .
Si a ∈ Crit k (f ), notons a
le même point, vu comme point critique de la
fonction −f . De sorte que
{a | a ∈ Crit k (f )} est une base de C k (f )
alors que
{a
| a ∈ Crit k (f )} est une base de C n−k (−f ).
L’espace vectoriel C n−k (−f ) est isomorphe à C k (f ), mais il est préférable
d’y penser comme étant son dual (d’où la notation)
C n−k (−f ) = C k (f )
.
Ainsi, par définition, la transposée
t
∂ X : C n−k+1 (−f ) −→ C n−k (−f ) de ∂ X : C k (f ) −→ C k−1 (f )
est la différentielle ∂ −X du complexe (C (−f ), ∂ −X ). On a donc :
Proposition 4.3.1 (dualité de Poincaré). Soit V une variété compacte de
dimension n. Si V est sans bord, HM n−k (V ; Z/2) est isomorphe à
HM k (V ; Z/2). Si V a un bord ∂V = ∂ + V ∪ ∂ − V , alors HM k (V, ∂ + V ; Z/2)
est isomorphe à HM n−k (V, ∂ − V ; Z/2).
Par exemple (c’est le cas où ∂ + V = ∅),
HM k (V ; Z/2) est isomorphe à HM n−k (V, ∂V ; Z/2).
Pour pouvoir énoncer un résultat analogue en homologie à coefficients
entiers, il faut pouvoir associer à un point critique a d’indice k de f avec
une orientation de W
s (a), un point critique a
de −f avec une orientation