4.2. LA FORMULE DE KÜNNETH
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En particulier,
L (X,Y ) ((a, a
), (b, b
)) ∼ = L X (a, b) × L Y (a
, b
).
Si a = b et a
= b
, pour que L X (a, b) × L X (a
, b
) ne soit pas vide, il est
nécessaire que
Ind(a) ≥ Ind(b) + 1 et Ind(a
) ≥ Ind(b
) + 1,
soit
Ind(a, a
) ≥ Ind(b, b
) + 2.
Donc, pour des points (a, a
) et (b, b
) d’indices consécutifs, on a
L (X,Y ) ((a, a
), (b, b
)) =
a × L Y (a
, b
) si a = b
L X (a, b) × a
si a
= b
et par suite
n (X,Y ) ((a, a
), (b, b
)) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
n Y (a
, b
) si a = b
n X (a, b) si a
= b
0
sinon.
L’application
Φ :
i+j=k
C i (f ) ⊗ C j (g) −→ C k (f + g)
définie par
Φ(a ⊗ a
) = (a, a
)
est un isomorphisme de groupes abéliens.
Proposition 4.2.1. L’application Φ définit un isomorphisme de complexes
(C (f ) ⊗ C (g), ∂ X ⊗ 1 + 1 ⊗ ∂ Y ) −→ (C (f + g), ∂ (X,Y ) ).
Démonstration. Soient a un point critique d’indice i de f et a
un point
critique d’indice j de g. On a d’une part
Φ(∂ X ⊗ 1 + 1 ⊗ ∂ Y )(a ⊗ a
) = Φ(∂ X (a) ⊗ a
+ a ⊗ ∂ Y (a
))
= Φ
b∈Criti−1(f )
n X (a, b)b ⊗ a
+
b ∈Critj−1(g)
n Y (a
, b
)a ⊗ b
=
b∈Criti−1(f )
n X (a, b)(b, a
) +
b ∈Critj−1(g)
n Y (a
, b
)(a, b
),
et de l’autre
∂ (X,Y ) Φ(a ⊗ a
) =
(b,b )∈Criti+j−1(f +g)
n (X,Y ) ((a, a
), (b, b
))(b, b
)
=
b∈Criti−1(f )
n X (a, b)(b, a
) +
b ∈Critj−1(g)
n Y (a
, b
)(a, b
),
grâce à la remarque ci-dessus.