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CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
On s’attend à ce que cette « homologie » vérifie un certain nombre de
propriétés, de fonctorialité, de bon comportement par rapport au produit
cartésien, par exemple.
Remarque 4.1.2. Notons un tout petit pas vers une sorte de fonctorialité
(voir plus généralement le § 4.6). Si ϕ : M → N est un difféomorphisme, ϕ
induit un isomorphisme
ϕ : HM (M ) −→ HM (N ).
En effet, si g est une fonction de Morse sur N , alors g◦ϕ en est une sur M .
Si X est un champ de pseudo-gradients adapté à g ◦ ϕ sur M satisfaisant à
la propriété de Smale, alors ϕ (X) en est un pour g sur N . On en déduit
un isomorphisme de complexes
(C (g ◦ ϕ), ∂ X ) −→ (C (g), ∂ ϕX ).
Homologie d’une réunion disjointe. Avant de passer aux choses sérieuses,
remarquons aussi que l’homologie de Morse d’une réunion disjointe est la
somme directe des homologies des morceaux. En effet, si f et g sont des
fonctions de Morse sur V et W et si X et Y sont des champs de vecteurs
ad hoc, alors évidemment
C k (f
g) = C k (f ) ⊕ C k (g) et ∂ X
Y = ∂ X ⊕ ∂ Y .
Notations. Pour alléger l’écriture du texte aussi bien que sa lecture, nous
noterons parfois C • (f, X) le complexe associé à une fonction et un champ de
vecteurs ; couple (f, X) que nous nous autoriserons à qualifier de « MorseSmale » lorsque l’une est de Morse et l’autre est un pseudo-gradient adapté
satisfaisant la propriété de Smale.
4.2. La formule de Künneth
Si M et N sont deux variétés munies de fonctions de Morse f et g et
de champs de pseudo-gradients X et Y respectivement (satisfaisant à la
condition de Smale), alors f + g est une fonction de Morse sur M × N et
(X, Y ) est un champ de pseudo-gradients adapté satisfaisant à la condition
de Smale. Les points critiques de f +g sont les points (a, a
) où a est un point
critique de f et a
un point critique de g. L’indice de (a, a
) est la somme
des indices de a et a
. Soient (a, a
) un point critique d’indice k de f + g
(avec a un point critique d’indice i de f et a
un point critique d’indice j
de g) et (b, b
) un point critique d’indice k − 1 tels qu’il y ait une trajectoire
de (X, Y ) joignant (a, a
) à (b, b
). Le flot de (X, Y ) est
ϕ
t
(X,Y ) (x, y) = (ϕ
t
X (x), ϕ
t
Y (y)).
CHAPITRE 4. HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
On s’attend à ce que cette « homologie » vérifie un certain nombre de
propriétés, de fonctorialité, de bon comportement par rapport au produit
cartésien, par exemple.
Remarque 4.1.2. Notons un tout petit pas vers une sorte de fonctorialité
(voir plus généralement le § 4.6). Si ϕ : M → N est un difféomorphisme, ϕ
induit un isomorphisme
ϕ : HM (M ) −→ HM (N ).
En effet, si g est une fonction de Morse sur N , alors g◦ϕ en est une sur M .
Si X est un champ de pseudo-gradients adapté à g ◦ ϕ sur M satisfaisant à
la propriété de Smale, alors ϕ (X) en est un pour g sur N . On en déduit
un isomorphisme de complexes
(C (g ◦ ϕ), ∂ X ) −→ (C (g), ∂ ϕX ).
Homologie d’une réunion disjointe. Avant de passer aux choses sérieuses,
remarquons aussi que l’homologie de Morse d’une réunion disjointe est la
somme directe des homologies des morceaux. En effet, si f et g sont des
fonctions de Morse sur V et W et si X et Y sont des champs de vecteurs
ad hoc, alors évidemment
C k (f
g) = C k (f ) ⊕ C k (g) et ∂ X
Y = ∂ X ⊕ ∂ Y .
Notations. Pour alléger l’écriture du texte aussi bien que sa lecture, nous
noterons parfois C • (f, X) le complexe associé à une fonction et un champ de
vecteurs ; couple (f, X) que nous nous autoriserons à qualifier de « MorseSmale » lorsque l’une est de Morse et l’autre est un pseudo-gradient adapté
satisfaisant la propriété de Smale.
4.2. La formule de Künneth
Si M et N sont deux variétés munies de fonctions de Morse f et g et
de champs de pseudo-gradients X et Y respectivement (satisfaisant à la
condition de Smale), alors f + g est une fonction de Morse sur M × N et
(X, Y ) est un champ de pseudo-gradients adapté satisfaisant à la condition
de Smale. Les points critiques de f +g sont les points (a, a
) où a est un point
critique de f et a
un point critique de g. L’indice de (a, a
) est la somme
des indices de a et a
. Soient (a, a
) un point critique d’indice k de f + g
(avec a un point critique d’indice i de f et a
un point critique d’indice j
de g) et (b, b
) un point critique d’indice k − 1 tels qu’il y ait une trajectoire
de (X, Y ) joignant (a, a
) à (b, b
). Le flot de (X, Y ) est
ϕ
t
(X,Y ) (x, y) = (ϕ
t
X (x), ϕ
t
Y (y)).