CHAPITRE 4
HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Dans ce chapitre, nous proposons quelques calculs et quelques applications de l’homologie de Morse : le cas d’un produit (formule de Künneth), la
dualité de Poincaré, la caractéristique d’Euler (et les inégalités de Morse),
le lien avec la connexité et la simple connexité de la variété considérée.
Nous montrons aussi la fonctorialité de l’homologie de Morse et mettons
en évidence une suite exacte longue pour une paire (W, V ) (où V est une
sous-variété de la variété W ).
4.1. Homologie
Comme l’homologie H (f, X) du complexe de Morse ne dépend que de V ,
on la note HM (V ; Z/2) (pour « homologie de Morse modulo 2 » de V ).
De même, l’homologie du complexe tenant compte des orientations comme
au § 3.3 est notée HM (V ; Z). En réalité (pour celles et ceux qui savent
ce que c’est), c’est l’homologie modulo 2 (resp. l’homologie entière) de la
variété V (voir le § 4.8.e). Les résultats de ce chapitre sont vrais sur Z/2
comme sur Z (sauf mention explicite du contraire). Nous ferons donc en
général usage du complexe à coefficients entiers et nous noterons HM (V )
son homologie.
Dans le cas d’une variété à bord V dont le bord ∂V est décomposé
en ∂V = ∂ − V ∪ ∂ + V , on définit de même l’homologie de Morse relative
HM (V, ∂ + V ; Z/2) comme l’homologie d’un complexe (C (f ), ∂ X ).
Exemple 4.1.1. Dans le cas du disque (voir la figure 12 du chapitre 3), la
figure de gauche donne
HM (D
n , S
n−1 ) =
0 si = n
Z si = n,
alors que celle de droite donne
HM (D
n ) =
0 si = 0
Z si = 0.
HOMOLOGIE DE MORSE, APPLICATIONS
Dans ce chapitre, nous proposons quelques calculs et quelques applications de l’homologie de Morse : le cas d’un produit (formule de Künneth), la
dualité de Poincaré, la caractéristique d’Euler (et les inégalités de Morse),
le lien avec la connexité et la simple connexité de la variété considérée.
Nous montrons aussi la fonctorialité de l’homologie de Morse et mettons
en évidence une suite exacte longue pour une paire (W, V ) (où V est une
sous-variété de la variété W ).
4.1. Homologie
Comme l’homologie H (f, X) du complexe de Morse ne dépend que de V ,
on la note HM (V ; Z/2) (pour « homologie de Morse modulo 2 » de V ).
De même, l’homologie du complexe tenant compte des orientations comme
au § 3.3 est notée HM (V ; Z). En réalité (pour celles et ceux qui savent
ce que c’est), c’est l’homologie modulo 2 (resp. l’homologie entière) de la
variété V (voir le § 4.8.e). Les résultats de ce chapitre sont vrais sur Z/2
comme sur Z (sauf mention explicite du contraire). Nous ferons donc en
général usage du complexe à coefficients entiers et nous noterons HM (V )
son homologie.
Dans le cas d’une variété à bord V dont le bord ∂V est décomposé
en ∂V = ∂ − V ∪ ∂ + V , on définit de même l’homologie de Morse relative
HM (V, ∂ + V ; Z/2) comme l’homologie d’un complexe (C (f ), ∂ X ).
Exemple 4.1.1. Dans le cas du disque (voir la figure 12 du chapitre 3), la
figure de gauche donne
HM (D
n , S
n−1 ) =
0 si = n
Z si = n,
alors que celle de droite donne
HM (D
n ) =
0 si = 0
Z si = 0.