EXERCICES
73
Comme dans la démonstration de l’indépendance, on pose
F (x, t) = f t (x) + g(x) pour (x, t) ∈ V ×
−
1
3
,
4
3
.
Comme dans cette démonstration encore les points critiques de F sont ceux
de f 0 dans la tranche 0 et ceux de f 1 dans la tranche 1, avec un saut d’indice
pour ceux de la tranche 0.
On construit enfin un pseudo-gradient
X pour F de façon que
X =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
X − grad g près de ∂V × [0, 1]
X 0 − grad g sur V × [−1/3, 1/3]
X 1 − grad g sur V × [2/3, 4/3],
qu’il n’y a plus qu’à perturber légèrement pour qu’il acquière la propriété de
Smale... Bref, on forme le complexe (C (F ), ∂
X
). Comme dans le cas sans
bord, on a
(C k (F ), ∂
X
) =
C k−1 (f 0 ) ⊕ C k (f 1 ),
∂ X0 0
Φ
X
∂ X1
,
ce qui définit
Φ
X
: (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 1 ), ∂ X1 ),
un morphisme de complexes dont on démontre comme plus haut qu’il induit
un isomorphisme en homologie.
En conclusion, l’homologie du complexe ne dépend, dans ce cas, que de V
et de la partition du bord en ∂V = ∂ + V ∪ ∂ − V .
Remarquons aussi que Φ
F
ne dépend pas de F . Pour s’en convaincre, avec
une autre « interpolation » F
, prendre G = Id et H = F
dans l’étape (3)
de la démonstration du théorème 3.4.2.
Exercices
Exercice 13. Quelle est l’homologie du complexe associé à la fonction définie
dans l’exercice 12 (page 48) et au champ de vecteurs suggéré dans le même
exercice ?
Exercice 14. Soient E et F deux sous-espaces vectoriels d’un même espace
vectoriel réel de dimension finie. Une orientation de E est une classe d’équivalence de bases de E sous la relation d’équivalence
B ∼ B
⇐⇒ d´ et B B
> 0.
Vérifier de même que la relation
B ∼ B
⇐⇒ d´ et (B,B0) (B
, B 0 ) > 0
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Comme dans la démonstration de l’indépendance, on pose
F (x, t) = f t (x) + g(x) pour (x, t) ∈ V ×
−
1
3
,
4
3
.
Comme dans cette démonstration encore les points critiques de F sont ceux
de f 0 dans la tranche 0 et ceux de f 1 dans la tranche 1, avec un saut d’indice
pour ceux de la tranche 0.
On construit enfin un pseudo-gradient
X pour F de façon que
X =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
X − grad g près de ∂V × [0, 1]
X 0 − grad g sur V × [−1/3, 1/3]
X 1 − grad g sur V × [2/3, 4/3],
qu’il n’y a plus qu’à perturber légèrement pour qu’il acquière la propriété de
Smale... Bref, on forme le complexe (C (F ), ∂
X
). Comme dans le cas sans
bord, on a
(C k (F ), ∂
X
) =
C k−1 (f 0 ) ⊕ C k (f 1 ),
∂ X0 0
Φ
X
∂ X1
,
ce qui définit
Φ
X
: (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 1 ), ∂ X1 ),
un morphisme de complexes dont on démontre comme plus haut qu’il induit
un isomorphisme en homologie.
En conclusion, l’homologie du complexe ne dépend, dans ce cas, que de V
et de la partition du bord en ∂V = ∂ + V ∪ ∂ − V .
Remarquons aussi que Φ
F
ne dépend pas de F . Pour s’en convaincre, avec
une autre « interpolation » F
, prendre G = Id et H = F
dans l’étape (3)
de la démonstration du théorème 3.4.2.
Exercices
Exercice 13. Quelle est l’homologie du complexe associé à la fonction définie
dans l’exercice 12 (page 48) et au champ de vecteurs suggéré dans le même
exercice ?
Exercice 14. Soient E et F deux sous-espaces vectoriels d’un même espace
vectoriel réel de dimension finie. Une orientation de E est une classe d’équivalence de bases de E sous la relation d’équivalence
B ∼ B
⇐⇒ d´ et B B
> 0.
Vérifier de même que la relation
B ∼ B
⇐⇒ d´ et (B,B0) (B
, B 0 ) > 0