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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
X
f
X
Figure 12
∂ − V
∂ + V
X
X
Figure 13
Remarque 3.5.3. Le complexe ne dépend pas de X| ∂V tant que celui-ci reste
transverse au bord, sortant le long de ∂ + V , entrant le long de ∂ − V (on peut
modifier X loin des points critiques).
Montrons maintenant que l’homologie du complexe ne dépend ni de la
fonction ni du champ de vecteurs. Supposons donc que f 0 et f 1 soient deux
fonctions de Morse sur V munies chacune d’un pseudo-gradient adapté qui
a la propriété de Smale. Les deux champs de vecteurs X 0 et X 1 sont aussi
supposés coïncider au voisinage du bord. Choisissons comme ci-dessus un
chemin f t de f 0 à f 1 que l’on suppose stationnaire aux deux extrémités,
f t = f 0 pour t ≤ 1/3 et f t = f 1 pour t ≥ 2/3.
On suppose aussi que df t (X) < 0 au voisinage de ∂V . On prolonge f t de
façon stationnaire pour t ∈ [−1/3, 4/3]. On utilise une fonction g comme
ci-dessus (figure 9) telle que
∀ t ∈
1
3 ,
2
3
, ∀ x ∈ V, g
(t) +
∂f t (x)
∂t
< 0.
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
X
f
X
Figure 12
∂ − V
∂ + V
X
X
Figure 13
Remarque 3.5.3. Le complexe ne dépend pas de X| ∂V tant que celui-ci reste
transverse au bord, sortant le long de ∂ + V , entrant le long de ∂ − V (on peut
modifier X loin des points critiques).
Montrons maintenant que l’homologie du complexe ne dépend ni de la
fonction ni du champ de vecteurs. Supposons donc que f 0 et f 1 soient deux
fonctions de Morse sur V munies chacune d’un pseudo-gradient adapté qui
a la propriété de Smale. Les deux champs de vecteurs X 0 et X 1 sont aussi
supposés coïncider au voisinage du bord. Choisissons comme ci-dessus un
chemin f t de f 0 à f 1 que l’on suppose stationnaire aux deux extrémités,
f t = f 0 pour t ≤ 1/3 et f t = f 1 pour t ≥ 2/3.
On suppose aussi que df t (X) < 0 au voisinage de ∂V . On prolonge f t de
façon stationnaire pour t ∈ [−1/3, 4/3]. On utilise une fonction g comme
ci-dessus (figure 9) telle que
∀ t ∈
1
3 ,
2
3
, ∀ x ∈ V, g
(t) +
∂f t (x)
∂t
< 0.