3.5. COBORDISMES
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3.5. Cobordismes
On considère maintenant un cobordisme, c’est-à-dire une variété à bord V
dont le bord ∂V est décomposé en
∂V = ∂ − V ∪ ∂ + V
(les deux parties ∂ ± V sont des réunions de composantes de ∂V choisies
arbitrairement). On généralise la construction du § 2.3.a. On fixe un champ
de vecteurs X (construit par exemple à l’aide d’une partition de l’unité) sur
un voisinage de ∂V dans V et qui est
– sortant le long de ∂ + V ;
– entrant le long de ∂ − V .
On construit une fonction de Morse f sur V telle que
df (X) < 0 au voisinage de ∂V
de la façon suivante. D’abord on la définit au voisinage du bord, par exemple
par
f (ϕ
−s
X (x)) = s pour s ∈ [0, δ[ si x ∈ ∂ + V ,
f (ϕ
s
X (x)) = −s pour s ∈ [0, δ[ si x ∈ ∂ − V ,
puis on la prolonge arbitrairement à V tout entière et enfin on la perturbe
légèrement pour en faire une fonction de Morse.
On peut ensuite prolonger X en un champ de pseudo-gradients adapté
à f qui sera encore noté X.
Rappelons (c’est la remarque 2.3.1) que, pour cette construction, il est
nécessaire de partir du champ de vecteurs transverse au bord et que la
fonction de Morse n’est pas absolument arbitraire.
Exemple 3.5.1. Sur la figure 12, la variété est un disque D
n , son bord est une
sphère S
n−1 . La fonction de Morse est la hauteur et le champ de vecteurs
est indiqué. Sur le dessin de gauche, S
n−1 = ∂ + V , sur celui de droite,
S
n−1 = ∂ − V .
Remarque 3.5.2. Les modifications que nous avons fait subir à un champ de
pseudo-gradients pour lui donner la propriété de Smale ont lieu dans des
voisinages des points critiques (et donc ici loin du bord), on peut donc les
effectuer de la même manière ici.
On peut donc aussi définir (C (f ), ∂ X ) comme dans le cas sans bord.
Les démonstrations de la compacité et du fait que ∂ X ◦ ∂ X = 0 sont
alors identiques à celles que nous avons faites dans le cas sans bord, puisque
toutes les liaisons entre points critiques vont rester loin du bord.