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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
a
S
Φ
F
Φ
G
Φ
H
Id
V × 0 × 0
V × 1 × 0
V × 0 × 1
V × 1 × 1
∂ X0
∂ X1
∂ X2
∂ X2
Figure 11
La situation avec les différents morphismes utilisés est schématisée sur la
figure 11. La différentielle s’écrit, dans cette décomposition,
∂
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ X0 0 0 0
Φ
F ∂ X1 0 0
Φ
H 0 ∂ X2 0
S Φ
G Id ∂ X2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
L’identité ∂
X
◦ ∂
X
= 0 donne
S ◦ ∂ X0 + Φ
G
◦ Φ
F + Φ
H + ∂ X2 ◦ S = 0
ou encore
Φ
G
◦ Φ
F
− Φ
H = S ◦ ∂ X0 + ∂ X2 ◦ S.
D’où l’on déduit que Φ
G
◦ Φ
F et Φ
H induisent le même morphisme en
homologie.
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
a
S
Φ
F
Φ
G
Φ
H
Id
V × 0 × 0
V × 1 × 0
V × 0 × 1
V × 1 × 1
∂ X0
∂ X1
∂ X2
∂ X2
Figure 11
La situation avec les différents morphismes utilisés est schématisée sur la
figure 11. La différentielle s’écrit, dans cette décomposition,
∂
X
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
∂ X0 0 0 0
Φ
F ∂ X1 0 0
Φ
H 0 ∂ X2 0
S Φ
G Id ∂ X2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
L’identité ∂
X
◦ ∂
X
= 0 donne
S ◦ ∂ X0 + Φ
G
◦ Φ
F + Φ
H + ∂ X2 ◦ S = 0
ou encore
Φ
G
◦ Φ
F
− Φ
H = S ◦ ∂ X0 + ∂ X2 ◦ S.
D’où l’on déduit que Φ
G
◦ Φ
F et Φ
H induisent le même morphisme en
homologie.