3.4. INDÉPENDANCE
69
points critiques 0 d’indice 1 et 1 d’indice 0, strictement croissante en dehors
de [0, 1] et telle que
g
(s) + max
∂F
∂s
(x, s),
∂G
∂s
(x, s),
∂H
∂s
(x, s)
< 0
d’une part et
∂K
∂s
(x, s, t) + g
(s) < 0 pour tous (x, s, t)
d’autre part. Soit enfin
K la fonction définie par
K(x, s, t) = K s,t (x) + g(s) + g(t).
C’est une fonction de Morse dont les points critiques sont
Crit(
K) =
Crit(f 0 ) × {0} × {0}
∪
Crit(f 1 ) × {1} × {0}
∪
Crit(f 2 ) × {0} × {1}
∪
Crit(f 2 ) × {1} × {1}
.
Les indices de ces points critiques sont
– si a ∈ Crit(f 0 ), Ind
K
((a, 0, 0)) = Ind f0 (a) + 2 ;
– si b ∈ Crit(f 1 ), Ind
K
((b, 1, 0)) = Ind f1 (b) + 1 ;
– si c ∈ Crit(f 2 ),
Ind
K
((c, 0, 1)) = Ind f2 (c) + 1 et Ind
K
((c, 1, 1)) = Ind f2 (c).
Notons X le champ de pseudo-gradients adapté à F et Y celui adapté à G
construits comme ci-dessus. Toujours avec une partition de l’unité, on définit
un champ de pseudo-gradients X adapté à
K de façon que
– pour s ∈ [−1/3, 1/3], X(x, s, t) = Z(x, t)+grad g(s) où Z est un pseudogradient pour
H(x, t) + g(t) : V ×
−
1
3 ,
4
3
−→ R ;
– pour s ∈ [2/3, 4/3], X(x, s, t) = Y (x, t) + grad g(s) où Y est un pseudogradient pour G ;
– pour t ∈ [−1/3, 1/3], X(x, s, t) = X(x, s) + grad g(t) ;
– pour t ∈ [2/3, 4/3], X(x, s, t) = X 2 + grad g(s) + grad g(t).
On perturbe ensuite X en
X pour que celui-ci ait la propriété de Smale, en
supposant, comme au cours de la première étape, que la perturbation a son
support dans V × [1/3, 2/3] × [1/3, 2/3].
Considérons maintenant le complexe des points critiques associé à
K et
à
X. On a
C k+1 (
K) = C k−1 (f 0 ) ⊕ C k (f 1 ) ⊕ C k (f 2 ) ⊕ C k+1 (f 2 ).