68
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
La relation ∂
X
◦ ∂
X
= 0 donne
Φ
F
◦ ∂ X0 + ∂ X1 ◦ Φ
F = 0 ou encore Φ
F
◦ ∂ X0 = ∂ X1 ◦ Φ
F
donc Φ
F est bien un morphisme de complexes.
Deuxième étape. Si f 1 = f 0 et X 0 = X 1 , on démarre avec
I : V × [0, 1] −→ R définie par I(x, s) = f 0 (x) pour tout s
et on utilise une fonction g comme ci-dessus. Le champ X = X 0 + grad g est
un pseudo-gradient adapté et il satisfait à la propriété de Smale. De plus,
pour tout point critique a de f 0 , il y a une unique trajectoire de X qui joint
(a, 0) à (a, 1). Donc Φ
I = Id.
Troisième étape. On a maintenant des interpolations F , G et H de f 0 à f 1
et de f 1 à f 2 . On interpole entre ces fonctions en choisissant une fonction
K : V ×
−
1
3 ,
4
3
×
1
3 ,
4
3
−→ R, K(x, s, t) = K s,t (x)
vérifiant les propriétés résumées par la figure 10 :
f 0
f 1
f 2
F
G
H
4
3
s
t
−
1
3
4
3
−
1
3
Figure 10
– pour s ∈ [−1/3, 1/3], K s,t = H t ;
– pour s ∈ [2/3, 4/3], K s,t = G t ;
– pour t ∈ [−1/3, 1/3], K s,t = F s ;
– et pour t ∈ [2/3, 4/3], K s,t = f 2 .
On utilise aussi une fonction de Morse g : R → R comme celle utilisée
ci-dessus (et dont le graphe est représenté sur la figure 9), avec comme seuls