3.4. INDÉPENDANCE
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la même propriété... et le même nombre de trajectoires reliant deux points
critiques (les ensembles de trajectoires des deux champs sont en bijection),
ce qui est exprimé dans la proposition suivante.
Proposition 3.4.3. Soit f : V → R une fonction de Morse et soit X un
champ de pseudo-gradients adapté à f qui a la propriété de Smale. Tout
champ de vecteurs
X suffisamment proche de X (au sens C
1 ) est un champ
de pseudo-gradients adapté qui a encore la propriété de Smale et on a
(C (f ), ∂ X ) = (C (f ), ∂
X
).
On peut donc choisir
X de façon que
(C (
F | V ×[−1/3,1/3] ), ∂
X
) = (C (f 0 + g| [−1/3,2/3] ), ∂ X0+grad g )
= (C +1 (f 0 ), ∂ X0 )
et de même tel que
(C (
F | V ×[2/3,4/3] ), ∂
X
) = (C (f 1 + g| [2/3,4/3] ), ∂ X1+grad g )
= (C (f 1 ), ∂ X1 ).
Considérons maintenant le complexe associé à la fonction de Morse
F et au
champ
X sur le produit V × [−1/3, 4/3]. Les trajectoires du champ
X qui
joignent deux points critiques de
F sont de deux sortes : celles qui restent
dans la tranche s ∈
−
1
3
,
1
3
ou dans la tranche s ∈
2
3
,
4
3
, qui sont des
trajectoires de X 0 ou de X 1 , et celles qui vont d’un point critique de f 0
(dans la tranche s ∈
−
1
3
,
1
3
) à un point critique de f 1 (dans la tranche
s ∈
2
3 ,
4
3
). On a
C k+1 (
F ) = C k (f 0 ) ⊕ C k+1 (f 1 )
et, compte tenu de ce qui précède,
∂
X
: C k (f 0 ) ⊕ C k+1 (f 1 ) −→ C k−1 (f 0 ) ⊕ C k (f 1 )
a, dans cette décomposition, une matrice de la forme
∂
X
=
∂ X0 0
Φ
F ∂ X1
.
La composante
Φ
F : C k (f 0 ) −→ C k (f 1 )
est donnée par
Φ
F (a) =
b∈Crit k (f1)
n
X
, (a, b)b
où n
X
(a, b) compte les trajectoires de
X joignant a ∈ V × {0} ∩ Crit(
F ) à
b ∈ V × {1} ∩ Crit(
F ).