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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
0
1
Figure 9. La fonction g
Première étape. On prolonge d’abord F à V × [−1/3, 4/3] par
F s = f 0 pour s ∈ [−
1
3
, 0]
F s = f 1 pour s ∈ [1,
4
3 ].
On considère une fonction de Morse g : R → R dont les points critiques
sont 0 (son maximum) et 1 (son minimum), qui est croissante sur ] − ∞, 0[
et sur ]1, +∞[ et suffisamment décroissante sur ]0, 1[ pour que
∀ x ∈ V, ∀ s ∈ ]0, 1[,
∂F
∂s
(x, s) + g
(s) < 0.
La fonction
F = F + g : V × [−1/3, 4/3] → R est une fonction de Morse
dont les points critiques sont
Crit(
F ) = Crit(f 0 ) × {0} ∪ Crit(f 1 ) × {1} .
De plus, pour a ∈ Crit(f 0 ),
Ind
F
(a, 0) = Ind f0 (a) + 1
alors que pour b ∈ Crit(f 1 ),
Ind
F
(b, 1) = Ind f0 (b).
À l’aide d’une partition de l’unité, on construit un champ de pseudogradients X adapté à
F qui coïncide avec
X 0 − grad g sur V × [−
1
3 ,
1
3 ]
X 1 − grad g sur V × [
2
3 ,
4
3 ]
(bien sûr, grad g désigne le gradient euclidien de g). Ainsi X est transverse
au bord de V × [−1/3, 4/3]. En perturbant un peu X, on le remplace par
un champ
X qui a la propriété de Smale et dont on peut supposer qu’il est
transverse aux tranches V ×{s} pour s ∈ {−1/3, 1/3, 2/3, 4/3}. Remarquons
qu’une petite perturbation d’un champ de pseudo-gradients adapté satisfaisant à la propriété de Smale est un champ de pseudo-gradients adapté ayant