3.4. INDÉPENDANCE
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Figure 8. Fonction F et fonctions Fs
Démonstration. On va procéder en plusieurs étapes que voici. On choisit
d’abord une fonction
F : V × [0, 1] −→ R
(x, s) −→ F s (x) = F (x, s)
telle que
F s = f 0 pour s ∈ [0,
1
3 ]
F s = f 1 pour s ∈ [
2
3 , 1].
(1) Nous en déduirons un morphisme
Φ
F : (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 1 ), ∂ X1 ).
(2) Nous vérifierons que, si (f 1 , X 1 ) = (f 0 , X 0 ) et I s (x) = f 0 (x) pour
tous x ∈ V , s ∈ [0, 1], alors
Φ
I = Id .
(3) Nous montrerons enfin que, si f 2 : V → R est une fonction de Morse
et X 2 un gradient (avec la propriété de Smale) adapté, si G est une interpolation entre f 1 et f 2 qui est stationnaire pour s ∈ [0, 1/3] ∪ [2/3, 1] et H une
interpolation entre f 0 et f 2 avec les mêmes propriétés, alors les morphismes
induits en homologie par
Φ
G
◦ Φ
F
et Φ
H : (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 2 ), ∂ X2 )
coïncident.
Si ces trois propriétés sont satisfaites, il est bien clair que Φ
F devra
induire un isomorphisme en homologie. Pour forcer Φ
F à les satisfaire, on
utilise une interpolation G entre f 1 et f 0 et l’interpolation constante H = I
entre f 0 et elle-même et on applique les propriétés, trouvant que Φ
F et Φ
G
induisent des isomorphismes inverses l’un de l’autre.