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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
Lorsque Ind(a) = Ind(b) + 1, L(a, b) est une variété compacte orientée de
dimension 0, c’est-à-dire un nombre fini de points chacun muni d’un signe.
Notons N X (a, b) ∈ Z la somme de ces signes et définissons
∂ X : C k (f ) −→ C k−1 (f )
a −→
b∈Critk−1(f )
N X (a, b)b.
Remarquons que le n X (a, b) utilisé pour définir le complexe modulo 2 n’est
autre que la réduction modulo 2 de N X (a, b).
Pour garantir que (C k (f ), ∂ X ) est un complexe, il reste à vérifier que
∂ X ◦ ∂ X = 0 dans ce nouveau contexte. C’est bien entendu une conséquence
du fait que le théorème 3.2.6 contient une partie « orientation ». Clairement,
la compactification d’une variété orientée de dimension 1 en variété à bord
fournit une variété à bord orientée... Il faut encore vérifier que l’orientation
induite sur le bord soit bien celle que nous avons imposée sur le bord. Ce
n’est pas très difficile, surtout si l’on contemple attentivement la figure 6
ou [38, pp. 155–156]. Nous laissons donc cette vérification aux lecteurs.
3.4. L’homologie du complexe ne dépend ni de la fonction ni du
champ de vecteurs
Dans ce paragraphe, nous montrons que l’homologie du complexe des
points critiques ne dépend ni de la fonction ni du champ de pseudo-gradients
utilisé pour la définir.
La démonstration qui suit est inspirée de [38], elle est aussi suggérée
dans [41] ; elle est fondée sur une idée originelle de Floer [25] qui, si elle
est centrale dans les travaux de ce dernier, était, à l’époque, totalement
nouvelle. On y utilise des déformations bien choisies d’une fonction de Morse
à une autre.
Remarque 3.4.1. Il existe des applications F : V × R → R qui interpolent
entre f 0 et f 1 et qui sont des fonctions de Morse. Mais en général, on ne
peut pas assurer que chacune des F s en est une : lorsque naît ou meurt un
point critique, on passe par un point critique dégénéré. Voir la figure 8 où
une fonction F s intermédiaire a un point critique dégénéré.
Théorème 3.4.2. Soit V une variété compacte et soient f 0 , f 1 : V → R deux
fonctions de Morse et X 0 , X 1 des pseudo-gradients adaptés à f 0 et f 1 qui
ont la propriété de Smale. Alors il existe un morphisme de complexes
Φ : (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 1 ), ∂ X1 )
qui induit un isomorphisme en homologie.
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
Lorsque Ind(a) = Ind(b) + 1, L(a, b) est une variété compacte orientée de
dimension 0, c’est-à-dire un nombre fini de points chacun muni d’un signe.
Notons N X (a, b) ∈ Z la somme de ces signes et définissons
∂ X : C k (f ) −→ C k−1 (f )
a −→
b∈Critk−1(f )
N X (a, b)b.
Remarquons que le n X (a, b) utilisé pour définir le complexe modulo 2 n’est
autre que la réduction modulo 2 de N X (a, b).
Pour garantir que (C k (f ), ∂ X ) est un complexe, il reste à vérifier que
∂ X ◦ ∂ X = 0 dans ce nouveau contexte. C’est bien entendu une conséquence
du fait que le théorème 3.2.6 contient une partie « orientation ». Clairement,
la compactification d’une variété orientée de dimension 1 en variété à bord
fournit une variété à bord orientée... Il faut encore vérifier que l’orientation
induite sur le bord soit bien celle que nous avons imposée sur le bord. Ce
n’est pas très difficile, surtout si l’on contemple attentivement la figure 6
ou [38, pp. 155–156]. Nous laissons donc cette vérification aux lecteurs.
3.4. L’homologie du complexe ne dépend ni de la fonction ni du
champ de vecteurs
Dans ce paragraphe, nous montrons que l’homologie du complexe des
points critiques ne dépend ni de la fonction ni du champ de pseudo-gradients
utilisé pour la définir.
La démonstration qui suit est inspirée de [38], elle est aussi suggérée
dans [41] ; elle est fondée sur une idée originelle de Floer [25] qui, si elle
est centrale dans les travaux de ce dernier, était, à l’époque, totalement
nouvelle. On y utilise des déformations bien choisies d’une fonction de Morse
à une autre.
Remarque 3.4.1. Il existe des applications F : V × R → R qui interpolent
entre f 0 et f 1 et qui sont des fonctions de Morse. Mais en général, on ne
peut pas assurer que chacune des F s en est une : lorsque naît ou meurt un
point critique, on passe par un point critique dégénéré. Voir la figure 8 où
une fonction F s intermédiaire a un point critique dégénéré.
Théorème 3.4.2. Soit V une variété compacte et soient f 0 , f 1 : V → R deux
fonctions de Morse et X 0 , X 1 des pseudo-gradients adaptés à f 0 et f 1 qui
ont la propriété de Smale. Alors il existe un morphisme de complexes
Φ : (C (f 0 ), ∂ X0 ) −→ (C (f 1 ), ∂ X1 )
qui induit un isomorphisme en homologie.