3.3. ORIENTATIONS, COMPLEXE SUR Z
6 3
Conclusion. Nous avons donc bien montré, comme annoncé au début de
ce paragraphe, que l’ensemble des liaisons entre deux points critiques se
compactifie par l’ajout des trajectoires brisées.
3.2.d. Variétés à bord. La construction de C (f ), la définition de ∂ X
et le fait que ∂ X ◦ ∂ X = 0 s’étendent d’eux-mêmes au cas d’une variété à
bord V pourvu qu’aucun des points critiques de f ne soit sur le bord ∂V
et que le champ X soit transverse (non tangent) à ce bord, de sorte que les
liaisons entre points critiques restent loin du bord. Voir plus généralement
les §§ 2.3.a et 3.5.
Remarque 3.2.12. On aura besoin d’une définition analogue pour la variété à
bord anguleux
(4) V × [0, 1]
k . On demande que, près du bord ∂(V × [0, 1]
k ),
le pseudo-gradient soit de la forme
Y + g 1 (t 1 )
∂
∂t 1
+ · · · + g k (t k )
∂
∂t k
pour un champ Y qui coïncide avec X près du bord de V et pour des
fonctions g i non nulles en 0 et 1.
3.3. Orientations, complexe sur Z
Si c est un point critique de la fonction de Morse f , sa variété stable
W
s (c), difféomorphe à un disque, est une variété orientable. Nous choisissons
ici, pour chaque point critique c, une orientation de la variété stable W
s (c).
Remarquons qu’il revient au même de choisir une co-orientation de la variété
instable w
u (c) : une co-orientation de l’espace vectoriel T c W
u (c) est, par
définition
(5) , une orientation du supplémentaire T c W
s (c).
Si a et b sont deux points critiques, l’intersection W
u (a) ∩ W
s (b) (nous
supposons toujours que cette intersection est transverse) est donc une variété orientée. Il en est de même de son intersection avec un niveau régulier
(un niveau régulier est co-orienté par l’orientation transverse donnée par le
champ de pseudo-gradients X utilisé). Ainsi, l’espace de trajectoires L(a, b)
est une variété orientée.
On définit C (f ) comme le groupe abélien libre (Z-module) de base les
points critiques de f . Répétons qu’a été fixée une fois pour toutes une orientation de chaque W
s (c). Nous avons donc
C k (f ) =
c∈Critk(f ) a c c | a c ∈ Z
.
(4) Nous adoptons cette élégante terminologie due à François Latour [38] pour « à bord
et coins ».
(5) Voir au besoin l’exercice 14 page 73.
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Conclusion. Nous avons donc bien montré, comme annoncé au début de
ce paragraphe, que l’ensemble des liaisons entre deux points critiques se
compactifie par l’ajout des trajectoires brisées.
3.2.d. Variétés à bord. La construction de C (f ), la définition de ∂ X
et le fait que ∂ X ◦ ∂ X = 0 s’étendent d’eux-mêmes au cas d’une variété à
bord V pourvu qu’aucun des points critiques de f ne soit sur le bord ∂V
et que le champ X soit transverse (non tangent) à ce bord, de sorte que les
liaisons entre points critiques restent loin du bord. Voir plus généralement
les §§ 2.3.a et 3.5.
Remarque 3.2.12. On aura besoin d’une définition analogue pour la variété à
bord anguleux
(4) V × [0, 1]
k . On demande que, près du bord ∂(V × [0, 1]
k ),
le pseudo-gradient soit de la forme
Y + g 1 (t 1 )
∂
∂t 1
+ · · · + g k (t k )
∂
∂t k
pour un champ Y qui coïncide avec X près du bord de V et pour des
fonctions g i non nulles en 0 et 1.
3.3. Orientations, complexe sur Z
Si c est un point critique de la fonction de Morse f , sa variété stable
W
s (c), difféomorphe à un disque, est une variété orientable. Nous choisissons
ici, pour chaque point critique c, une orientation de la variété stable W
s (c).
Remarquons qu’il revient au même de choisir une co-orientation de la variété
instable w
u (c) : une co-orientation de l’espace vectoriel T c W
u (c) est, par
définition
(5) , une orientation du supplémentaire T c W
s (c).
Si a et b sont deux points critiques, l’intersection W
u (a) ∩ W
s (b) (nous
supposons toujours que cette intersection est transverse) est donc une variété orientée. Il en est de même de son intersection avec un niveau régulier
(un niveau régulier est co-orienté par l’orientation transverse donnée par le
champ de pseudo-gradients X utilisé). Ainsi, l’espace de trajectoires L(a, b)
est une variété orientée.
On définit C (f ) comme le groupe abélien libre (Z-module) de base les
points critiques de f . Répétons qu’a été fixée une fois pour toutes une orientation de chaque W
s (c). Nous avons donc
C k (f ) =
c∈Critk(f ) a c c | a c ∈ Z
.
(4) Nous adoptons cette élégante terminologie due à François Latour [38] pour « à bord
et coins ».
(5) Voir au besoin l’exercice 14 page 73.