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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
Lemme 3.2.11. Le plongement Φ défini par le flot de X
Φ : ∂ + U − S + −→ ∂ − U − S −
est donné par
Φ(x − , x + ) =
x +
x −
x − ,
x −
x +
x +
.
Démonstration du lemme. On intègre simplement X, dont le flot est
ϕ
s (x − , x + ) = (e
2s x − , e
−2s x + ).
Si (x − , x + ) ∈ ∂ + U et x − = 0, il existe un s tel que
x +
x −
x − ,
x −
x +
x +
= (e
2s x − , e
−2s x + ).
Comme x + > x − , on a s > 0 ; de plus
x +
x −
x − ,
x −
x +
x +
∈ ∂ − U.
Démonstration des propositions 3.2.9 ou 3.2.10. Soit D un disque comme
dans l’énoncé de la proposition 3.2.10. Comme S + est constitué des x tels
que x − = 0 et comme D S + , 0 est une valeur régulière pour la restriction
à D de la projection
π : ∂ + U −→ D
k , π(x − , x + ) = x − .
En utilisant le théorème d’inversion locale, on peut supposer que
D =
(x − , h(x − )) | x − ∈ D
k (δ)
où h : D
k (δ) → D
n−k est telle que
h(x − )
2 = x −
2 + ε, soit (x − , h(x − )) ∈ ∂ + U.
Posons g = h/ h : D
k
→ S
n−k−1 , de sorte que
D =
x − ,
ε + x − 2 g(x − )
| x − ∈ D
k (δ)
.
Grâce au lemme, on a
Φ(D − {a}) =
ε + x − 2 x − /x − , x − g(x − )
| x − ∈ D
k (δ) − {0}
.
Utilisons les coordonnées « polaires » (ρ, u) ∈ ]0, δ[ × S
k−1 sur D
k (δ) − {0}.
Ainsi Φ(D − {a}) est l’image de
H : ]0, δ[ × S
k−1
−→ ∂ − U
(ρ, u) −→
ρ 2 + ε u, ρg(ρ, u)
.
Comme l’application g est définie sur le disque D
k tout entier, on peut
prolonger H à [0, δ[ × S
k−1 par
H(0, u) = (
√
εu, 0) ∈ S − .
Donc Φ(D − {a}) ∪ S − est bien une variété à bord de bord S − .