3.2. TRAJECTOIRES BRISÉES
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Quand s → 0, Φ
−1
◦ χ(s) tend vers a 1 , on peut donc la prolonger à [0, δ[,
obtenant ainsi le ψ recherché,
ψ : [0, η[ −→ L(b, d) avec ψ(0) = (λ 1 , λ 2 ).
Il reste à démontrer la proposition. Commençons par réénoncer celle-ci
dans le modèle de Morse U ⊂ R
k
× R
n−k , avec
f (x − , x + ) = −−x −
2 + x +
2 , X = − grad f
S + =
(x − , x + ) | x − = 0, x +
2 = ε
⊂ f
−1 (ε),
et
S − =
(x − , x + ) | x + = 0, x −
2 = ε
⊂ f
−1 (−ε).
La figure 7 représente exactement la même chose que la figure 6 mais
dans la carte de Morse (les niveaux de f ne sont plus représentés par des
plans horizontaux mais par des quadriques).
f
−1 (α + ε)
f
−1 (α − ε)
c
Im Φ
λ 1
λ 2
D
a 1
S − (c)
Figure 7
Proposition 3.2.10. Soit a ∈ S + et soit D ⊂ ∂ + U un disque de dimension k
et de rayon δ qui coupe S + transversalement en a. Soit
Φ : ∂ + U − S + −→ ∂ − U − S −
le plongement défini par le flot de X. Alors
Q = Φ(D − {a}) ∪ S −
est une variété à bord, de bord ∂Q = S − .
Pour démontrer cette proposition, nous utiliserons encore un lemme.