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CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
f
−1 (α + ε)
f
−1 (α − ε)
c
b
Im Φ
λ 1
λ 2
D
a 1
W
s (b) ∩ Q
S − (c)
Figure 6
Proposition 3.2.9. Quitte à restreindre la taille de D, c’est-à-dire prendre la
restriction de Ψ à un disque de rayon δ
< δ, Q = Im Φ ∪ S − (c) est une
variété à bord de dimension k et de bord ∂Q = S − (c).
Cette proposition permet de finir la démonstration du théorème. L’image
de Φ est un ouvert de l’intersection de la variété instable de a avec le niveau
f
−1 (α − ε). Comme X a la propriété de Smale, on aura donc
W
s (b) Im Φ
et on a aussi
W
s (b) S − (c).
De sorte que W
s (b) ∩ Q sera une sous-variété de dimension 1 dans ∂ − Ω(c) ⊂
f
−1 (α − ε) dont le bord est W
s (b) ∩ ∂Q = L(c, b).
Appelons a 2 le point d’intersection de λ 2 avec S − (c) et définissons
χ : [0, δ[ −→ W
s (b) ∩ Q
un paramétrage de cette variété à bord : le point 0 est envoyé sur le bord a 2 .
On a ainsi une application
Φ
−1
◦ χ : ]0, δ[ −→ W
s (b) ∩ (D − {a 1 }).
CHAPITRE 3. LE COMPLEXE DES POINTS CRITIQUES
f
−1 (α + ε)
f
−1 (α − ε)
c
b
Im Φ
λ 1
λ 2
D
a 1
W
s (b) ∩ Q
S − (c)
Figure 6
Proposition 3.2.9. Quitte à restreindre la taille de D, c’est-à-dire prendre la
restriction de Ψ à un disque de rayon δ
< δ, Q = Im Φ ∪ S − (c) est une
variété à bord de dimension k et de bord ∂Q = S − (c).
Cette proposition permet de finir la démonstration du théorème. L’image
de Φ est un ouvert de l’intersection de la variété instable de a avec le niveau
f
−1 (α − ε). Comme X a la propriété de Smale, on aura donc
W
s (b) Im Φ
et on a aussi
W
s (b) S − (c).
De sorte que W
s (b) ∩ Q sera une sous-variété de dimension 1 dans ∂ − Ω(c) ⊂
f
−1 (α − ε) dont le bord est W
s (b) ∩ ∂Q = L(c, b).
Appelons a 2 le point d’intersection de λ 2 avec S − (c) et définissons
χ : [0, δ[ −→ W
s (b) ∩ Q
un paramétrage de cette variété à bord : le point 0 est envoyé sur le bord a 2 .
On a ainsi une application
Φ
−1
◦ χ : ]0, δ[ −→ W
s (b) ∩ (D − {a 1 }).